Bilaga 5. Beräkning av induktorstorlek
Rekonstruktion, pass 1. Denna fil omfattar originalets bilaga 5.1-5.5 (PDF-sidorna 51-55). Text och beräkningar har transkriberats från den skannade kopian. De tre avslutande diagrammen har, enligt projektets principer, utelämnats och ersatts med korta figurplatshållare.
Originalet använder i flera formler ett cgs-baserat enhetssystem: $\hat B$ anges i gauss, $A_{\mathrm{fe}}$ i $\mathrm{cm}^2$ och luftgapet $\Delta$ i cm.
1. Allmänt
För att närmare studera de fysiska dimensionerna hos en induktor har vikt och volym beräknats för en luftkyld induktor med varierande induktans.
En trefasinduktor har följande utseende:
Figur. Principskiss av en trefasinduktor. Originalfiguren är utelämnad.
Beteckningar i originalfiguren:
- $\sum \delta = \Delta$: sammanlagt luftgap
- $N$: varv per fas
- $a$: antal lindningslager
- kärnans djup: $\sqrt{A_{\mathrm{fe}}}$
- $B$: kärnans bredd
- $H$: kärnans höjd
Luftgapen delas upp i flera delgap för att begränsa läckflöden.
2. Beräkningsgång
Den i lindningen inducerade spänningen blir
\[e=\frac{d\Psi}{dt} \quad\Longrightarrow\quad \bar E=j\omega\Psi, \qquad E=\omega\Psi.\]Vidare gäller
\[\Psi=N\Phi=NB A_{\mathrm{fe}},\]och således
\[E=2\pi B A_{\mathrm{fe}}Nf.\]Med $\hat B$ uttryckt i gauss och $A_{\mathrm{fe}}$ i $\mathrm{cm}^2$ erhålls
\[E = \sqrt{2}\,\pi\,10^{-8} \hat B A_{\mathrm{fe}}Nf \qquad (\mathrm{cgs}).\]Dessutom gäller
\[\oint H\,ds=NI,\]vilket för järnvägen och luftgapet skrivs
\[H_{\Delta}\Delta+H_j\ell=NI.\]Med
\[H_{\Delta}=\frac{B}{\mu_0}, \qquad H_j=\frac{B}{\mu\mu_0},\]fås
\[\frac{B}{\mu_0}\Delta + \frac{B}{\mu\mu_0}\ell = NI.\]Luftgapsreluktansen antas dominera, varför
\[I=\frac{1}{\mu_0}\frac{B\Delta}{N}.\]För effektivvärdet av strömmen och toppvärdet $\hat B$ blir detta
\[I = \frac{1}{\mu_0} \frac{\hat B\Delta}{N\sqrt{2}} 10^{-6} \qquad (\mathrm{cgs}),\]och därmed
\[\Delta = \frac{\mu_0\sqrt{2}\,10^6IN}{\hat B} = \frac{0.4\pi\sqrt{2}\,IN}{\hat B} \qquad (\mathrm{cgs}).\]Reaktansen blir
\[X = \frac{E}{I} = \frac{\sqrt{2}\,\pi\,10^{-8}\hat B f}{I} \,N A_{\mathrm{fe}} \qquad (\mathrm{cgs}).\]Om induktorn beräknas för maskinen MBK 280 S-6 krävs
\[I=160\ \mathrm{A}.\]Sätts detta in tillsammans med värden på maximal ström- och flödestäthet fås
\[\hat B=12\,000\ \mathrm{gauss}, \qquad S_{\max}=1.9\ \mathrm{A/mm^2}.\]Därmed erhålls
\[X = 1.66\cdot10^{-4} N A_{\mathrm{fe}} \qquad (\mathrm{cgs}),\]samt
\[\Delta = 2.37\cdot10^{-2}N.\]Här är $X$ uttryckt i ohm och $\Delta$ i cm när $A_{\mathrm{fe}}$ anges i $\mathrm{cm}^2$.
3. Kopparvikter
Vid strömtätheten
\[S=1.9\ \mathrm{A/mm^2}\]krävs koppararean
\[A_{\mathrm{cu}} = \frac{160}{1.9} \approx 84\ \mathrm{mm^2} = 6\cdot14\ \mathrm{mm^2}.\]Ledaren antas därför ha måtten
\[b=6\ \mathrm{mm}, \qquad h=14\ \mathrm{mm},\]och koppardensiteten sätts till
\[\rho_{\mathrm{cu}}=7900\ \mathrm{kg/m^3}.\]Kopparvikten för de tre faserna blir
\[m_{\mathrm{cu}} = 3N A_{\mathrm{cu}}\ell\rho_{\mathrm{cu}},\]där lindningslängden per varv approximeras som
\[\ell = 4\left(\sqrt{A_{\mathrm{fe}}}+0.3a\right).\]Insättning ger
\[\begin{aligned} m_{\mathrm{cu}} &= 3A_{\mathrm{cu}}\rho_{\mathrm{cu}} \,4\left(\sqrt{A_{\mathrm{fe}}}+0.3a\right)N \\ &= 0.0897 \left(\sqrt{A_{\mathrm{fe}}}+0.3a\right)N, \end{aligned}\]där $A_{\mathrm{fe}}$ anges i $\mathrm{cm}^2$ och massan i kg.
4. Järnvikter
Benen
Järnvikten i de tre benen skrivs
\[m_{\mathrm{feb}} = 3A_{\mathrm{fe}}H\rho_{\mathrm{fe}},\]där
\[H=\frac{Nh}{a}+0.04.\]Med $\rho_{\mathrm{fe}}=7900\ \mathrm{kg/m^3}$ och $h=14\ \mathrm{mm}$ erhålls
\[\begin{aligned} m_{\mathrm{feb}} &= 3\rho_{\mathrm{fe}} \left(\frac{Nh}{a}+0.04\right) A_{\mathrm{fe}} \\ &= 3\cdot7900\cdot10^{-6} \left(\frac{Nh}{a}+4\right) A_{\mathrm{fe}} \\ &= 0.0237 \left(1.4\frac{N}{a}+4\right) A_{\mathrm{fe}}. \end{aligned}\]Här anges $A_{\mathrm{fe}}$ i $\mathrm{cm}^2$ och massan i kg.
Oken
Järnvikten i de två oken skrivs
\[m_{\mathrm{feo}} = 2A_{\mathrm{fe}}B\rho_{\mathrm{fe}},\]där kärnans bredd approximeras som
\[B = 3\sqrt{A_{\mathrm{fe}}} + 4\cdot1.2\,a b + 2\cdot0.03.\]Detta ger
\[\begin{aligned} m_{\mathrm{feo}} &= 2\rho_{\mathrm{fe}} \left( 3\sqrt{A_{\mathrm{fe}}} + 4.8ab + 0.06 \right) A_{\mathrm{fe}} \\ &= 2\cdot7900\cdot10^{-6} \left( 3\sqrt{A_{\mathrm{fe}}} + 2.88a + 6 \right) A_{\mathrm{fe}} \\ &= 0.0158 \left( 3\sqrt{A_{\mathrm{fe}}} + 2.88a + 6 \right) A_{\mathrm{fe}}. \end{aligned}\]Även här anges $A_{\mathrm{fe}}$ i $\mathrm{cm}^2$ och massan i kg.
5. Sammanfattning
De använda uttrycken kan sammanfattas som
\[X = \frac{\sqrt{2}\,\pi\,10^{-8}\hat B f}{I} \,N A_{\mathrm{fe}} = 1.66\cdot10^{-4} N A_{\mathrm{fe}} \quad [\Omega],\] \[\Delta = \frac{\mu_0\sqrt{2}\,10^6 I}{\hat B}N = 2.37\cdot10^{-2}N \quad [\mathrm{cm}],\] \[m_{\mathrm{cu}} = 0.0897 \left( \sqrt{A_{\mathrm{fe}}}+0.3a \right)N,\] \[m_{\mathrm{feb}} = 0.0237 \left( 1.4\frac{N}{a}+4 \right) A_{\mathrm{fe}},\]och
\[m_{\mathrm{feo}} = 0.0158 \left( 3\sqrt{A_{\mathrm{fe}}}+2.88a+6 \right) A_{\mathrm{fe}}.\]Görs beräkningar för tre olika induktorer, 0.5, 1.0 och 2.0 mH, erhålls de tre diagrammen i figur 1-3. I dessa har induktorns vikt beräknats med benarean och antalet lager i lindningarna som fria variabler.
Figur 1. Serieinduktorns vikt som funktion av benarean $A_{\mathrm{fe}}$ för $L=0.5\ \mathrm{mH}$ och olika antal lindningslager. Originaldiagrammet är utelämnat.
Figur 2. Serieinduktorns vikt som funktion av benarean $A_{\mathrm{fe}}$ för $L=1.0\ \mathrm{mH}$ och olika antal lindningslager. Originaldiagrammet är utelämnat.
Figur 3. Serieinduktorns vikt som funktion av benarean $A_{\mathrm{fe}}$ för $L=2.0\ \mathrm{mH}$ och olika antal lindningslager. Originaldiagrammet är utelämnat.