Examensarbete i elektrisk effektomvandling
01b - Huvudtext, fortsättning
Rekonstruktion, pass 1. Denna fil omfattar originalets sidor 9-15 och avslutar huvudtexten. Den ansluter till
01-main-text.md. Texten har transkriberats från den skannade kopian och radbrytningar samt avstavningar har normaliserats. Figur 4 har utelämnats och ersatts med en kort platshållare. Formlerna har satts om i LaTeX.
3. Motorn under belastning
3.1 Allmänt
Hittills har förlusterna endast studerats under tomgång. För att komma fram till det praktiskt intressanta fallet belastas nu motorn. Eftersläpningen kommer då att öka och en ökad ström och effekt tas ut. Kopparförlusterna ökar och totalförlusterna (koppar och järn) kan, vid PWM-matning, uppgå till ca 10 kW för en motor vars märkeffekt är 75 kW.
De förluster som uppstår utöver förlusterna vid märklast och sinusmatning resulterar i en nedstämpling av motorn. Nedstämplingen medför att man måste ta ut mindre moment ur motorn för att hålla förlusteffekten nere, och större motorer krävs alltså för ett givet belastningsmoment. Om en serieinduktor läggs in i kretsen kan extraförlusterna minskas och nedstämplingsfaktorn förbättras.
Vid belastning blir inte spänningsfallet över induktorn försumbart (eftersom den ökade eftersläpningen ger en shuntning av magnetiseringsreaktansen även för grundtonen). Detta medför att det nu måste göras en avvägning mellan induktorns negativa spänningssänkande egenskaper och dess positiva dämpning av övertonsförlusterna i motorn. Väger man dessa mot varandra skulle man kunna finna en minimal förlust, om det inte vore så att medan förlusterna avtar med kvadraten på spänningen, så sjunker motorspänningen linjärt. En så stor induktans som möjligt blir därför lämplig vid obegränsad tillgång på spänning och utrymme, för att minska nedstämplingen i en given motor.
Figur 4. Ekvivalent schema för induktor och motor under belastning. Originalfiguren är utelämnad.
3.2 Belastning utan serieinduktor
Till att börja med studeras de allmänna förhållandena när motorn inte matas via en serieinduktor. Med hjälp av datorprogrammet har kopparförlusterna räknats fram för två olika fall. Dels då matningsspänningens (V) (här lika med (U)) grundton (V_1) har låtits vara direkt proportionell mot frekvensen. Dels då flödet har hållits konstant. Det senare innebär att spänningen (E_1) (se figur 4) måste variera linjärt med frekvensen eftersom
\[E_1 \sim j\omega\Psi_1 \sim j\omega\phi_1.\]Att det första fallet inte ger konstant flöde beror på att vid låga frekvenser blir resistanserna jämförbara med reaktanserna och (E_1) blir då inte en enkel ickefasvriden linjär funktion av (V_1) längre.
I bilaga 1.4, figur 1 syns effekten av detta. Figuren visar de totala förlusterna i motorn vid konstant moment (700 Nm) som funktion av frekvensen. Kurva A representerar det första fallet med omriktarklämspänningens grundton
\[V_1 = kf.\]På motsvarande sätt har sinusfallet beräknats och a-kurvan erhållits. I fallet A blir nedstämplingen (bilaga 1.4, figur 2)
\[\xi = 1-\frac{M}{M_n}\]mycket stor. Eftersom (M\sim I) och (P_{cu}\sim I^2) blir
\[\xi = \sqrt{1-\frac{P_{cu n}}{P_{cu}}}.\]Nedstämplingen blir, med utgångspunkt från detta, som störst vid låga frekvenser, vid PWM-matning ((\xi=18\%) vid 11 Hz). Här har beräkningarna grundats på antagandet att den forcerade kylningen gjort att alla förluster effektivt kunnat ledas bort, oberoende av varvtalet. I verkligheten har detta visat sig svårt att utföra, varför en ytterligare korrektionsterm måste införas för att ta hänsyn till denna effekt.
Hålls flödet konstant blir förhållandena annorlunda. Då minskar sinusförlusterna vid låga frekvenser eftersom kopparförlusterna är konstanta ((\phi=\text{konstant}\Rightarrow I=\text{konstant})) och järnförlusterna avtar med frekvensen (kurva b). I PWM-fallet fås ett förlustmaximum kring 30 Hz (kurva B) och nedstämplingen blir ca 14 %.
Man kan alltså notera att nedstämplingen kan variera mellan ca 8 och 14 % vid PWM-drift och konstant flöde, och att förlusterna är som störst vid 30 Hz.
3.3 Förlusternas induktansberoende
För att studera hur induktorn påverkar förlusterna vid en given frekvens har bilaga 1.5 framtagits. Här har belastningsmomentet varit 700 Nm och frekvensen 30 Hz. I figuren finns dels kopparförlusterna vid belastning, uppdelade i grundtonsförlust ((P_{cu1})) och övertonsförluster ((P_{cu\ddot{o}})), dels matningsspänningen (V_1) som funktion av frekvensen.
På samma sätt som för järnförlusterna kan man uttrycka
\[P_{cu\ddot{o}}(X) = P_{cu\ddot{o}}(X=0) \frac{(X_1+X_2)^2}{(X_1+X_2+X)^2}.\]Storleksordningen på induktorn blir därför i trakten av kortslutningsreaktansen
\[X_k=X_1+X_2,\]dvs omkring 0,25 pu (se bilaga 6). I diagrammet på bilaga 1.5 finns inritat de med programmet beräknade värdena (kryss) och de ur ovanstående erhållna värdena sammanslagna med grundtonsförlusten (prickar). Återigen är överensstämmelsen god. Det kvadratiska avtagandet gör att övertonsförlusterna har reducerats en faktor fyra då
\[X=X_1+X_2=X_k,\]vilket kan ses som en grov tumregel för hur stor induktorn bör vara. Att notera är också hur snabbt erforderlig matningsspänning stiger med induktansen. Om induktansen blir något större än 4 mH (0,86 pu) krävs en matningsspänning (V) på (220\,V_{eff}), vilket motsvarar ett maximalt utnyttjande av mellanledsspänningen på 488 V. För ännu större induktanser kan konstant flöde inte upprätthållas.
3.4 Förlusternas frekvensberoende
Induktorns inverkan på förlusterna kan även beräknas som funktion av frekvensen. För en given induktans och ett givet belastningsmoment erhålls de minsta kopparförlusterna om motorflödet hålls konstant, oberoende av frekvensen.
Detta medför i sin tur att matningsspänningen måste höjas för att kompensera för spänningsfallet över induktorn och statorn. Vid låga frekvenser är det möjligt att genomföra eftersom man då ändå inte utnyttjar hela den tillgängliga spänningen (här (V_1=220\,V)), men när frekvensen stiger så når man en för varje induktor specifik frekvens då det inte går att ta ut mer spänning ur mellanledet. När denna gräns passeras måste istället kravet på konstant flöde släppas till förmån för kravet på konstant moment, vilket erhålls genom att eftersläpningen ökas.
Effekten av detta kan studeras i bilaga 1.6 och 1.7. Om ingen induktor finns i kretsen, uppstår inte problemet och kurvan ser ut som för (L=0). Samma konvexa utseende skulle också de andra kurvorna få om det inte vore för det ovan nämnda spänningstaket. För till exempel 1 mH (0,22 pu) kurvan ger sig detta tillkänna vid ungefär 44 Hz. Över denna frekvens stiger förlusterna starkt på grund av den ökade strömmen (upp till denna frekvens har konstant flöde medfört i stort sett konstant ström, (s\sim 1/f)). Ännu mer markant är detta i 2 mH 0,43 pu-fallet. Spänningsfallet blir då så stort över induktorn att det inte går att ta ut 700 Nm vid höga frekvenser. På grund av detta ter det sig lämpligt att vid en gränsfrekvens, som bestäms av att totalförlusterna med och utan induktor blir lika stora, koppla förbi induktorn. För frekvenser större än den specifika gränsfrekvensen följer förlusterna sedan kurvan för (L=0).
Om man gör på det sättet och beräknar den erforderliga nedstämplingen ur förlusterna, så erhålls bilaga 1.7. Den visar att en stor induktans minskar nedstämplingen vid låga frekvenser, men att svinget i nedstämpling blir stort. En liten induktor ger i stället en jämnare nedstämplingskurva.
3.5 Momentpulsationer
Övertonshalten i matningsspänningen ger upphov till momentpulsationer kring medelmomentet, vilka måste beaktas. Framförallt vid låga frekvenser blir dessa betydande varför metoden med femte- och sjundetonsundertryckning (se bilaga 2) används för att omfördela tonerna. Bilaga 1.8, figur 1 och 1.9 visar det totala momentets maximi- och minimivärden vid 700 Nm och 0 Nm ((\approx M_n) och 0) som funktion av frekvensen. Momenten har erhållits ur datorprogrammet som även tar hänsyn till elimineringen av låga övertoner. Kurvorna ger endast en överblick över pulsationerna kring medelmomentet och deras frekvensberoende. Om de ritas med fler punkter skulle sprången vid växlarna framgå tydligare.
En urkoppling av till exempel en 1 mH (0,22 pu) induktans vid 47 Hz skulle öka pulsationerna från ca (\pm150\,Nm) till (\pm300\,Nm), vilket inte betyder särskilt mycket om momentet är 700 Nm. Däremot innebär det en fördubbling vid låglast.
Kurvorna i bilaga 1.8, figur 1 och 1.9 visar också att pulsationerna är ungefär konstanta och oberoende av belastningsmomentet.
Minskningen i pulsationen som funktion av induktansen syns i bilaga 1.8, figur 2. Pulsationsmomentet är proportionellt mot strömmen vilket borde, i enlighet med tidigare beräkningar, ge
\[M_p(X) = M_p(X=0) \frac{X_1+X_2}{X_1+X_2+X}.\]Detta svarar mot prickarna vilka väl överensstämmer med de ur programmet erhållna kryssen.
3.6 Viktberäkning
En viktberäkning kan vara av intresse för att utröna om man kan finna en minimal vikt hos motor + induktor vid märkmoment. Vikten beräknas enligt följande:
För varje specifik induktans beräknas en motorvikt och en induktorvikt. Motorvikten fås ur MBK 280 S-6S data. Vikten som funktion av längden hos de aktiva rotor- och statordelarna bestäms ur data i bilaga 6. Därefter antas att längden hos de aktiva delarna är direkt proportionell mot förlusteffekten. Induktorvikten som funktion av induktansen fås ur bilaga 5 i vilken en luftkyld induktor har optimerats.
Vikterna har införts i bilaga 1.10. Ur den kan man utläsa att det viktminimum som finns är mycket flackt, den besparing man gör i motorstorlek förloras i induktorvikt. Detta tar dock ej hänsyn till vinsterna i momentpulsationer eller hur mycket utrymme som finns tillgängligt.
4. Diskussion
4.1 Procedurens möjligheter och begränsningar
Den beräkningsprocedur som här har arbetats fram ger en möjlighet att för en godtycklig motor-induktorkombination bestämma förlusternas fördelning och storlek, spänningsfall och nedstämpling för olika frekvenser och spänningar. Detta ger, tillsammans med uppgifter om motorns och induktorns fysiska dimensioner och tillgängligt utrymme, ett underlag för valet av motor-induktorkombination.
Procedurens noggrannhet begränsas i viss mån av att en fyrkantspänning med raka flanker förutsatts. I verkligheten blir därför övertonshalten mindre och förlusterna minskar något. Minskningen uppvägs i viss mån av att friktionsförluster inte har medräknats.
Beräkningsrutinen har en begränsning i att det inte går att ur en given järnförlust vid sinusmatning räkna fram motsvarande järnförluster vid PWM-matning. Med utgångspunkt från bilaga 1.1 kan man dock dra den allmänna slutsatsen att järnförlusterna vid PWM-matning är ungefär en konstant term större än i sinusfallet för olika frekvenser, och att PWM-järnförlusterna vid 50 Hz är ungefär dubbelt så stora som sinusjärnförlusterna vid samma frekvens.
Hela detta arbete grundar sig på antagandet att den forcerade kylningen möjliggör effektiv kylning vid alla frekvenser. Detta gäller dock inte i verkligheten, utan nedstämplingen kommer att öka ytterligare med en faktor beroende av kylförhållandena vid varje specifikt fall.
4.2 Induktorns storlek vid fritt motorutrymme
Skall motorn användas i en sådan miljö att utrymmet för motor och induktor är i stort sett obegränsat visar det sig (bilaga 1.10) att användandet av en serieinduktor inte medför någon nämnvärd besparing. Ur denna synpunkt finns det därför inte någon anledning att använda serieinduktorn, utom för att begränsa momentpulsationerna.
4.3 Induktorns storlek vid begränsat motorutrymme
Om dimensionerna för motorutrymmet är givna, som till exempel boggien i ett lok, faller viktargumentet bort. Det gäller då att få ut maximalt moment ur en given motor. I sådana fall bör induktorn väljas så stor att reduktionen i övertoner blir rimlig. Övertonsförlusterna som funktion av induktansen kan approximativt uttryckas:
\[P_{cu\ddot{o}}(X) = P_{cu\ddot{o}}(X=0) \frac{(X_1+X_2)^2}{(X_1+X_2+X)^2},\] \[P_{fe\ddot{o}}(X) = P_{fe\ddot{o}}(X=0) \frac{(X_1+X_2)^2}{(X_1+X_2+X)^2},\] \[X_1+X_2\approx X_k.\]En reduktion av övertonsförlusterna jämfört med förlusterna utan induktor till en fjärdedel kräver alltså en induktor (L=L_k). Denna ger också en halvering av momentpulsationerna
\[M_p(X) = M_p(X=0) \frac{X_1+X_2}{X_1+X_2+X}.\]Induktorn bör väljas i denna storleksordning, en mindre induktor medför ingen nämnvärd förbättring jämfört med matning utan induktor medan en stor induktor, t ex (L=2\times L_k), ger mycket små marginalförbättringar.
En stor induktor får även en låg gränsfrekvens vid vilken flödet ej kan hållas konstant i motorn och motorförlusterna ökar (bilaga 1.6, 1.7). Oberoende av induktorstorleken bör induktorn kopplas ur vid den frekvens då förlusterna med och utan induktor i kretsen är lika stora.
4.4 Litteraturförteckning
P. Krause, Method of multiple reference frames applied to the analysis of symmetrical induction machinery. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, vol. PAS-87, no. 1, pp. 218-226.
F. G. G. de Buck, Design adaption of inverter supplied induction motors. Electric Power Applications, May 1978, vol. 1, no. 2, pp. 54-60.
E. Alm, Elektroteknik Band III, Elektromaskinlära, del 2A, 1927, pp. 356-362.
F. Gustavson, Kompendium i elektromekanisk energiomvandling, del 1, 1978, pp. 4.1-4.20.
T. Porteous, Programbeskrivningar till PWMOT och RESIST.
Huvudtexten avslutas här. Bilaga 1 består huvudsakligen av diagram och har utelämnats enligt projektets upplägg. Nästa textavsnitt är bilaga 2, mätningens utseende och Fourieranalys.