Bilaga 2. Matningsspänningens utseende och Fourieranalys

1. Kurvform

Matningen från omriktaren kan i det enklaste fallet göras som en fyrkantspänning (referensspänningen) som multipliceras med en modulationsspänning, bestående av pulser vars bredd moduleras. En sådan matning ger dock upphov till svåra femte- och sjundetons pulsationer vid framförallt låga frekvenser. För att eliminera dessa hackas referensspänningen upp på ett sådant sätt att dessa låga övertoner förläggs i högre frekvenser.

Kurvformerna $R(\varphi)$ och $M(\theta)$. Originalfigurer utelämnade.

Dessa båda signaler fourierutvecklas och multipliceras med varandra.

2. Fourierutveckling

$R(\varphi)$ är en udda funktion. Fourierutvecklingen innehåller därför endast sinustermer.

Antalet hack kan anses vara jämnt, ty ett udda antal hack kan överföras till ett jämnt antal utan att förhållandena ändras (placera ett hack i $\pi/2$).

\[\begin{aligned} R_n &= \frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} R(\varphi)\sin(n\varphi)\,d\varphi \\ &= \frac{4}{\pi}\int_0^{\pi/2} R(\varphi)\sin(n\varphi)\,d\varphi \\ &= \frac{4}{\pi}\left[ \int_0^{\pi/2}\sin(n\varphi)\,d\varphi -2\sum_{k=1}^{j} \int_{\alpha_{2k-1}}^{\alpha_{2k}}\sin(n\varphi)\,d\varphi \right] \\ &= \{\text{den ohackade signalen minus hacken}\} \\ &= \frac{4}{n\pi}\left[ 1+2\sum_{k=1}^{j} \left(\cos(n\alpha_{2k})-\cos(n\alpha_{2k-1})\right) \right]. \end{aligned}\]

Det vill säga

\[R_n = \frac{4}{n\pi} \left[ 1+2\sum_{k=1}^{2j}(-1)^k\cos(n\alpha_k) \right].\]

$M(\theta)$ är en jämn funktion. Fourierutvecklingen innehåller därför endast cosinustermer.

\[\begin{aligned} M_i &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}M(\theta)\cos(i\theta)\,d\theta \\ &= \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}M(\theta)\cos(i\theta)\,d\theta \\ &= \frac{2}{\pi}\int_0^{m\pi}\cos(i\theta)\,d\theta \\ &= \frac{2}{i\pi}\sin(i m\pi). \end{aligned}\] \[M_0=\text{modulationssignalens medelvärde}=m.\]

Detta ger $M$:s fourierserie, inklusive fasförskjutningen:

\[M(\theta-\theta_0) = m+\sum_{i=1}^{\infty}M_i\cos\left[i(\theta-\theta_0)\right].\]

Referenssignalens vinkel är

\[\psi=\omega t.\]

Modulationssignalens vinkel är

\[\theta=\int_0^t N\omega\,dt,\]

där $N$ är antalet modulationspulser i referenssignalens koordinatsystem,

\[N=6p, \qquad p=1,2,3,\ldots\]

Om referenssignalen verkar i ett trefassystem utan nollföljd elimineras de frekvenser som är multiplar till tre, vilket lämnar toner av ordningstalet

\[6q\pm1, \qquad q=1,2,3,\ldots\]

Multiplikation av de båda signalerna ger:

\[\begin{aligned} R(\psi)M(\theta-\theta_0) &= \left[ \sum_{n=1,5,7,\ldots}^{\infty}R_n\sin(n\omega t) \right] \left[ m+\sum_{i=1}^{\infty}M_i\cos\left[i(N\omega t-\theta_0)\right] \right] \\ &= m\sum_{n=1,5,7,\ldots}^{\infty}R_n\sin(n\omega t) \\ &\quad+ \sum_{n=1,5,7,\ldots}^{\infty} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{R_nM_i}{2} \Bigl\{ \sin\left[(n+iN)\omega t-i\theta_0\right] \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad + \sin\left[(n-iN)\omega t+i\theta_0\right] \Bigr\}. \end{aligned}\]