Bilaga 3. Beräkningsmodellen

Rekonstruktion, pass 1. Denna fil omfattar originalets bilaga 3.1–3.5 (PDF-sidorna 28–32). Texten har transkriberats från den skannade kopian. Figur 1 har utelämnats och ersatts med en kort platshållare. De handskrivna formlerna har satts om i LaTeX.

1. Förutsättningar

För att kunna studera hur asynkronmaskinen arbetar vid PWM-matning krävs en matematisk modell. Denna grundar sig på:

1. dq-transformation
2. fourieranalys och superposition
3. nollföljden existerar inte

En tvåpolig trefasmaskin kan ritas (med induktor i serie på statorsidan):

Figur 1. Tvåpolig trefasmaskin med en induktor i serie på statorsidan. Originalfiguren är utelämnad.

2. dq-transformation

Ur figur 1 erhålls uttryck för spänningarna, som efter dq-transformationen

\[\begin{bmatrix} \gamma_{d1} \\ \gamma_{q1} \end{bmatrix} = \frac{2}{3} \begin{bmatrix} \sin\theta & \sin\left(\theta-\frac{2\pi}{3}\right) & \sin\left(\theta+\frac{2\pi}{3}\right) \\ \cos\theta & \cos\left(\theta-\frac{2\pi}{3}\right) & \cos\left(\theta+\frac{2\pi}{3}\right) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \gamma_{r1} \\ \gamma_{s1} \\ \gamma_{t1} \end{bmatrix}\]

ger följande uttryck på statorsidan:

\[U_{d1} = p\Psi_{d1} - \Psi_{q1}p\theta + (R+R_1)i_{d1},\] \[U_{q1} = p\Psi_{q1} + \Psi_{d1}p\theta + (R+R_1)i_{q1},\]

där $\theta$ är vinkeln mellan q-axeln och statorns r-axel.

För rotorn erhålls på motsvarande sätt ($\beta$ = vinkeln mellan q-axeln och rotorns r-axel):

\[\begin{bmatrix} \gamma_{d2} \\ \gamma_{q2} \end{bmatrix} = \frac{2}{3} \begin{bmatrix} \sin\beta & \sin\left(\beta-\frac{2\pi}{3}\right) & \sin\left(\beta+\frac{2\pi}{3}\right) \\ \cos\beta & \cos\left(\beta-\frac{2\pi}{3}\right) & \cos\left(\beta+\frac{2\pi}{3}\right) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \gamma_{r2} \\ \gamma_{s2} \\ \gamma_{t2} \end{bmatrix}\]

och

\[U_{d2} = p\Psi_{d2} - \Psi_{q2}p\beta + R_2 i_{d2},\] \[U_{q2} = p\Psi_{q2} + \Psi_{d2}p\beta + R_2 i_{q2}.\]

Uttrycken för de sammanlänkade flödena blir:

\[\Psi_{d1} = (L+L_1+M)i_{d1} + \frac{N_2}{N_1}M i_{d2},\] \[\Psi_{q1} = (L+L_1+M)i_{q1} + \frac{N_2}{N_1}M i_{q2},\] \[\Psi_{d2} = \left(L_2+\frac{N_2}{N_1}M\right)i_{d2} + M i_{d1},\] \[\Psi_{q2} = \left(L_2+\frac{N_2}{N_1}M\right)i_{q2} + M i_{q1},\]

om man använder samma dq-transformation.

För att förenkla räknearbetet kan det vara lämpligt att överföra rotorstorheterna till statorns referensram. Man får då:

\[U'_{d2} = p\Psi'_{d2} - \Psi'_{q2}p\beta + R'_2 i'_{d2},\] \[U'_{q2} = p\Psi'_{q2} + \Psi'_{d2}p\beta + R'_2 i'_{q2},\]

där

\[\Psi_{d1} = (L+L_1)i_{d1} + M(i_{d1}+i'_{d2}),\] \[\Psi_{q1} = (L+L_1)i_{q1} + M(i_{q1}+i'_{q2}),\] \[\Psi'_{d2} = L'_2 i'_{d2} + M(i_{d1}+i'_{d2}),\] \[\Psi'_{q2} = L'_2 i'_{q2} + M(i_{q1}+i'_{q2}).\]

Här har

\[i'_2=\frac{N_2}{N_1}i_2,\] \[L'_2=\frac{N_1}{N_2}L_2\]

använts.

Sammanställs detta i en matris erhålls:

\[\begin{bmatrix} U_{d1} \\ U_{q1} \\ U'_{d2} \\ U'_{q2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\omega(L+L_1+M) & R+R_1+(L+L_1+M)p & -\omega M & Mp \\ R+R_1+(L+L_1+M)p & \omega(L+L_1+M) & Mp & \omega M \\ -(\omega-\omega_r)M & Mp & -(\omega-\omega_r)L'_2 & R'_2+L'_2p \\ Mp & (\omega-\omega_r)M & R'_2+L'_2p & (\omega-\omega_r)L'_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_{d1} \\ i_{q1} \\ i'_{d2} \\ i'_{q2} \end{bmatrix},\]

där $\omega_r$ är rotorns vinkelhastighet.

Slutligen fås ett uttryck för momentet:

\[M_v = M\left(\frac{a}{2}\right)\left(\frac{P}{2}\right) \left(i_{q1}i'_{d2}-i_{d1}i'_{q2}\right),\]

där $a$ är antalet faser och $P$ antalet poler.

3. Fourieranalys

För att föra resonemanget vidare införs nu den kurvform som omriktaren ger. Beteckningen s (till exempel $V_{q1}^{s}$) införs som anger variabler i statorns referenssystem, e betecknar ett synkront roterande referenssystem.

Ur $\gamma$-ekvationerna erhålls:

\[\begin{aligned} V_{d1}^{s} &= \frac{1}{\sqrt{3}}(-V_{s1}+V_{t1}) \\ &= \{\text{fourierutveckling}\} \\ &= \sum_{k=1}^{\infty} \left( V_{kd\alpha}\cos(k\omega_e t) + V_{kd\gamma}\sin(k\omega_e t) \right), \end{aligned}\] \[V_{q1}^{s} = V_{t1} = \sum_{k=1}^{\infty} \left( V_{kq\alpha}\cos(k\omega_e t) + V_{kq\gamma}\sin(k\omega_e t) \right).\]

Om man uttrycker detta i e-systemet fås:

\[V_{d1}^{e} = V_{q1}^{s}\sin(\omega_e t) + V_{d1}^{s}\cos(\omega_e t),\] \[V_{q1}^{e} = V_{q1}^{s}\cos(\omega_e t) - V_{d1}^{s}\sin(\omega_e t).\]

Insättning av uttrycken för $V_{d1}^{s}$ och $V_{q1}^{s}$ ger framåt- och bakåtroterande vågor som betecknas $+e$ och $-e$.

\[\begin{aligned} V_{kd1}^{+e} = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty} \Bigl[ &-(V_{kq\alpha}-V_{kd\gamma}) \sin((k-1)\omega_e t) \\ &+(V_{kq\gamma}+V_{kd\alpha}) \cos((k-1)\omega_e t) \Bigr], \end{aligned}\] \[\begin{aligned} V_{kq1}^{+e} = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty} \Bigl[ &(V_{kq\alpha}-V_{kd\gamma}) \cos((k-1)\omega_e t) \\ &+(V_{kq\gamma}+V_{kd\alpha}) \sin((k-1)\omega_e t) \Bigr], \end{aligned}\] \[\begin{aligned} V_{kd1}^{-e} = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty} \Bigl[ &(V_{kq\alpha}+V_{kd\gamma}) \sin((k+1)\omega_e t) \\ &-(V_{kq\gamma}-V_{kd\alpha}) \cos((k+1)\omega_e t) \Bigr], \end{aligned}\] \[\begin{aligned} V_{kq1}^{-e} = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty} \Bigl[ &(V_{kq\alpha}+V_{kd\gamma}) \cos((k+1)\omega_e t) \\ &+(V_{kq\gamma}-V_{kd\alpha}) \sin((k+1)\omega_e t) \Bigr]. \end{aligned}\]

För att kunna lösa ekvationerna för de olika övertonerna är det lämpligt att för var och en av dessa lägga fast ett referenssystem för att få konstanta parametrar. Därför transformeras de olika tonerna var för sig:

\[\gamma_{d1}^{+ke} = \gamma_{kq1}^{+e}\sin((k-1)\omega_e t) + \gamma_{kd1}^{+e}\cos((k-1)\omega_e t),\] \[\gamma_{q1}^{+ke} = \gamma_{kq1}^{+e}\cos((k-1)\omega_e t) - \gamma_{kd1}^{+e}\sin((k-1)\omega_e t),\] \[\gamma_{d2}^{+ke} = \gamma_{kq2}^{+e}\sin((k-1)\omega_e t) + \gamma_{kd2}^{+e}\cos((k-1)\omega_e t),\] \[\gamma_{q2}^{+ke} = \gamma_{kq2}^{+e}\cos((k-1)\omega_e t) - \gamma_{kd2}^{+e}\sin((k-1)\omega_e t),\]

och

\[\gamma_{d1}^{-ke} = -\gamma_{kq1}^{-e}\sin((k+1)\omega_e t) + \gamma_{kd1}^{-e}\cos((k+1)\omega_e t),\] \[\gamma_{q1}^{-ke} = \gamma_{kq1}^{-e}\cos((k+1)\omega_e t) + \gamma_{kd1}^{-e}\sin((k+1)\omega_e t),\] \[\gamma_{d2}^{-ke} = -\gamma_{kq2}^{-e}\sin((k+1)\omega_e t) + \gamma_{kd2}^{-e}\cos((k+1)\omega_e t),\] \[\gamma_{q2}^{-ke} = \gamma_{kq2}^{-e}\cos((k+1)\omega_e t) + \gamma_{kd2}^{-e}\sin((k+1)\omega_e t).\]

Med rotorspänningarna lika med noll och en hopplockning av ovanstående ekvationer erhålls:

\[V_{d1}^{+ke} = \frac{1}{2}(V_{kq\alpha}+V_{kd\gamma}),\] \[V_{q1}^{+ke} = \frac{1}{2}(V_{kq\gamma}-V_{kd\alpha}),\] \[V_{d1}^{-ke} = \frac{1}{2}(V_{kq\alpha}-V_{kd\gamma}),\] \[V_{q1}^{-ke} = \frac{1}{2}(V_{kq\alpha}+V_{kd\gamma}).\]

Strömmarna kan nu lösas genom att inversen till

\[\begin{bmatrix} V_{d1} \\ V_{q1} \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}^{\pm ke} = \begin{bmatrix} -n\omega_e(L+L_1+M) & R+R_1+(L+L_1+M)p & -n\omega_eM & Mp \\ R+R_1+(L+L_1+M)p & n\omega_e(L+L_1+M) & Mp & n\omega_eM \\ -(n\omega_e-\omega_r)M & Mp & -(n\omega_e-\omega_r)L'_2 & R'_2+L'_2p \\ Mp & (n\omega_e-\omega_r)M & R'_2+L'_2p & (n\omega_e-\omega_r)L'_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_{d1} \\ i_{q1} \\ i'_{d2} \\ i'_{q2} \end{bmatrix}^{\pm ke}\]

löses. Dessa ger sedan på sedvanligt sätt förluster och moment ur det vanliga ekvivalenta schemat för de framåt- och bakåtroterande vågorna.