Examensarbete i elektrisk effektomvandling

Studie av övertonsförluster hos en asynkronmaskin seriekopplad med en serieinduktor

Utfört av: Staffan Canback

Handledare: Tom Porteous

Inlämnat: 1979-11-27

Status: Godkänt

Sammanfattning

Examensarbetet har utförts vid Högeffektlaboratoriet vid Centrala utvecklingsavdelningen, ASEA, Västerås. Handledare var Tom Porteous.

Avsikten med arbetet var att studera en serieinduktors inverkan på en omriktarmatad asynkronmaskins driftförhållanden, med avseende på nedstämpling och momentpulsationer, samt att om möjligt finna en optimal kombination av motor och induktor.

Beräkningarna har utförts med hjälp av datorprogram som har tillämpats på en ASEA standardmotor, MBK 280 S-6, 75 kW. Till dessa beräkningar har lagts data från laboratorieförsök rörande järnförluster. Resultaten har därefter använts för att bedöma hur stora förlustreduktioner som kan erhållas för olika induktorstorlekar. Vid denna bedömning har även induktorns fysiska dimensioner beaktats.

Examensarbetet visar att när motorutrymmet inte är begränsat finns det, ur förlustsynpunkt, ingen anledning att införa en serieinduktor i systemet, eftersom summan av motor- och induktorvikten i stort sett är konstant.

När motorutrymmet däremot är begränsat visar resultaten att en serieinduktor med fördel kan användas upp till en för varje induktor specifik gränsfrekvens, för att reducera nedstämplingen av momentet. När denna gränsfrekvens överskrids bör induktorn kopplas ur. Därmed minimeras nedstämplingen vid höga frekvenser, men momentpulsationerna ökar.

Examensarbete i elektrisk effektomvandling

01 - Huvudtext

Rekonstruktion, pass 1. Denna fil omfattar originalets sidor 3-8. Texten har transkriberats från den skannade kopian och radbrytningar samt avstavningar har normaliserats. Figurerna har utelämnats och ersatts med korta platshållare. Formlerna har satts om i LaTeX. Avsnitt 2.6 fortsätter i nästa del.

1. Inledning

1.1 Allmänt

Under senare år har en ny typ av motordrift vuxit fram och vållat stort intresse bland motortillverkare. Vid bland annat traktionsdrift har det visat sig att asynkronmaskiner med omriktarmatning på allvar har börjat konkurrera med den tyristorlikriktarmatade likströmsmotorn. Fördelarna är många; så är till exempel asynkronmotorn betydligt mer robust än likströmsmotorn, den kräver avsevärt mindre underhåll och klarar även svåra miljöer bättre. Dessutom kan ofta standardmotorer användas, vilket pressar priser och underlättar service. I takt med att priserna på tyristorer med hjälpelektronik har sjunkit har därför alternativet med omriktare och asynkronmotor blivit allt mer konkurrenskraftigt.

Figur 1. Likriktare, mellanled, växelriktare, induktor och motor. Originalfiguren är utelämnad.

1.2 Matning

För att kunna mata en asynkronmotor med variabel frekvens kan omriktare av spännings- och strömtyp användas. I det här fallet har en omriktare av spänningstyp (voltage source inverter) utnyttjats.

Denna likriktar växelspänningen från nätet till en konstant mellanledsspänning (U_d) (figur 1). En växelspänning erhålls sedan genom att mellanledsspänningen hackas upp i tyristorbryggan och multipliceras med en modulationsspänning för att få variabel frekvens och amplitud (se bilaga 2).

Vid låga frekvenser görs upphackningen på ett sådant sätt att övertonsfördelningen ändras och femte och sjunde övertonen undertrycks, vilket har vissa fördelar ur driftsynpunkt (se punkt 3). Referens- och modulationsspänningen kan därför få ett utseende enligt figur 2.

Figur 2. Referens- och modulationsspänningarnas principiella utseende. Originalfiguren är utelämnad.

Detta ger således en växelspänning av godtycklig frekvens och amplitud. Maximal grundtonsamplitud erhålls då modulationsspänningen är konstant, dvs hela referenssignalen släpps igenom, och begränsas av mellanledsspänningen.

Denna typ av matning kallas PWM-matning (pulse width modulation), eftersom det är bredden på modulationspulserna, inte amplituden hos referenssignalen som avgör grundtonsspänningens storlek.

När omriktarens frekvens varieras från 0 till 50 Hz genomlöper den ett antal växlar (se bilaga 6). Vid förutbestämda frekvenser ändras matningsspänningens utseende så att en optimal matning hela tiden kan erhållas. I referensspänningen läggs hack in för att undertrycka de låga övertonerna vid låga frekvenser och modulationsspänningens frekvens ändras så att den blir en multipel av sex gånger referenssignalens frekvens.

1.3 Nackdelar med PWM-matning

Omriktarsteget levererar en i stort sett fyrkantig spänning till motorn. Detta ger upphov till övertoner som i sin tur skapar extraförluster i rotor och stator (järn och koppar) utan att bidra med ett ökat moment. Följden härav blir att motorn får en nedstämpling i förhållande till drift med vanlig sinusmatning.

Ett annat problem är att den rika övertonshalten ger upphov till oönskade momentpulsationer kring belastningsmomentet, vilka särskilt vid låga frekvenser kan vara betydande. Momentpulsationerna kan vid t ex traktionsdrift ge upphov till slirning vid start.

De kan även skapa negativa moment som via motorn överförs till mekaniska kopplingar i systemet. De mekaniska påfrestningarna blir då stora, vilket betraktas som mycket allvarligt.

Av denna anledning hackas matningsspänningen så att femte och sjunde tonen undertrycks och de största pulsationerna försvinner. Man bör dock observera att endast en omfördelning har gjorts så att högre övertoners amplituder ökar när femte- och sjundetons spänningen minskar. Ytterligare ett problem är att matningsspänningens utseende gör att motorn låter mycket illa.

1.4 Åtgärder

Förutom den ovan nämnda omfördelningen av övertoner är en metod att minska övertonshalten i motorn att filtrera matningsspänningen. Härför läggs en serieinduktor in i de tre faserna mellan omriktaren och motorn, vilket kommer att minska övertonsamplituderna relativt grundtonen. Det är detta som studeras i föreliggande rapport.

1.5 Metoder

För att undersöka hur stora förlusterna och pulsationerna är, har fourieranalys av matningsspänningen tillämpats (se bilaga 2). Detta ger sedan, tillämpat på den vanliga maskinmodellen (figur 3) och med hänsyn tagen till strömförträngningsfenomen i rotorn, varje tons tillsats av kopparförluster, samt den totala momentpulsationen kring belastningsmomentet.

Figur 3. Ekvivalent schema för induktor och motor. Originalfiguren är utelämnad.

Dessa teorier är sammanställda i datorprogrammet PWMIND (pulsviddsmodulation med induktor, se bilaga 4). Till ur detta erhållna resultat har lagts de uppskattade järnförlusterna.

Allt detta sammantaget och tillämpat på en ASEA standardmotor (MBK 280 S-6, nr 7125 824) med forcerad kylning, tillsammans med en serieinduktor, har sedan legat till grund för en värdering och bedömning av vilken induktor som av elektriska, mekaniska och fysiska skäl, kan anses vara den, om än ej optimala, så ändå bästa lösningen på problemet. Dessa slutsatser dras för ifrågavarande standardmotor, men kan även tillämpas på andra kombinationer av motor och induktor.

2. Järnförluster

2.1 Allmänt

Nedstämplingen hos motorn erhålls genom att de totala förlusterna i motorn bestäms. Med totalförluster kommer i fortsättningen summan av koppar- och järnförluster att avses, däremot tas ingen hänsyn till friktions- och tillsatsförluster. Till att börja med bestäms därför järnförlusterna ur tomgångsprov. Dessa läggs sedan till de vid belastning erhållna kopparförlusterna och nedstämplingen räknas fram (se Motorn under belastning).

2.2 Svårigheter vid analytisk bestämning av järnförluster

Att beräkna järnförlusterna analytiskt kan vara svårt. Förlusterna delas upp i två delar, hysteresförluster och virvelströmsförluster. Det gäller alltså att:

\[P_{fe} = P_v + P_h\] \[P_h = k_h f B_{\max}^{\lambda}, \qquad 1 < \lambda < 3\] \[P_v = k_v \sigma d^2 f^2 B^2\]

(Variabelförteckning i bilaga 7.)

På grund av att de inbördes relationerna mellan (P_v) och (P_h) ej är kända, de ingående variablernas frekvens- och spänningsberoende är obekant och att superposition inte går att tillämpa, inses det att järnförlustberäkningar kan erbjuda vissa problem.

2.3 Metod

En alternativ metod är att mäta upp de tomgångsförluster som uppstår för olika frekvenser, och från dessa subtrahera de ur maskinmodellen beräknade värdena på kopparförlusterna då maskinen går i tomgång vad beträffar grundton (övertonerna går samtidigt med eftersläpningen ett). De resterande förlusterna postuleras därefter som järnförluster. Denna metod ger åtminstone ett absolut maximum för järnförlusternas storlek.

2.4 Tomgång utan serieinduktor

De totala förlusterna (järn + koppar) har mätts upp på en ASEA standardmotor MBK 280 S-6 med forcerad kylning vid både PWM- och sinusmatning. Från totalförlusterna har sedan de ur datorprogrammet PWMIND beräknade kopparförlusterna dragits, vilket ger de resterande järnförlusterna. I bilaga 1.1 har dels de totala förlusterna vid PWM-matning i tomgång, dels de framräknade järnförlusterna vid PWM- och sinusmatning, förts in som funktion av frekvensen. Den streckade linjen för PWM-järnförlusterna får ses som en trend. Vid dessa mätningar och beräkningar har grundtonens flöde varit detsamma vid PWM- och sinusdrift.

Total- och PWM-järnförlusternas våldsamma språng beror på de växlar som lagts in vid tio frekvenser (se inledning och bilaga 6) för att minska förlusterna. Att kopparförlusterna vid tomgång är så stora som nästan femtio procent av totalförlusten vid PWM-matning beror på extraförluster från övertonerna. Detta gör att man inte kan betrakta tomgångsförluster som järnförluster.

Övertonerna förklarar också varför förlusterna vid låga frekvenser inom en växel kan vara större än vid en hög frekvens; den relativa andelen övertoner (kvoten övertonsamplitud/grundtonsamplitud) är större.

För att kunna relatera dessa järnförluster till någonting har sinusjärnförlusterna tagits fram på motsvarande sätt (totalförlust - kopparförlust). Man finner vid en jämförelse att PWM-järnförlusterna är betydligt större än sinusförlusterna, återigen inverkar övertonerna. Slutsatsen blir i det här fallet att PWM-förlusterna blir en ungefär konstant term, omkring 1 kW, större än vid sinusmatning, och att man därför framförallt vid lägre frekvenser får en mycket stor uppräkning av järnförlusterna (relativt sett).

2.5 Tomgång med induktor

Efter att ha studerat sambanden mellan tomgångsförlusterna vid PWM- och sinusmatning införs en serieinduktor i kretsen (enligt figur 3). Eftersom motorimpedansen domineras av reaktansen kommer induktorn inte att fungera som ett första ordningens lågpassfilter utan snarare som en länk i en spänningsdelning. Induktorn kommer att dämpa övertonsamplituden och förbättrar därigenom spänningens utseende vid motorklämmorna avsevärt ((U)). Denna förbättrade kurvform ger minskade övertonsförluster (både koppar och järn) vilket återspeglas i bilaga 1.1-1.3 som alla tre visar total- och järnförluster i tomgång som funktion av frekvensen för olika induktans.

Det visar sig att kopparförlusternas andel i de totala tomgångsförlusterna minskar avsevärt vid ökande induktorstorlek, men är fortfarande så stora som halva totalförlusten vid 0,21 pu (1 mH) och 10 Hz, (per unit-värdena relateras till motorns märkspänning och märkström, basimpedansen blir då (Z_B = 1,47) och basinduktansen blir (L_B = 4,67\,\mathrm{mH}) enligt bilaga 6, kortslutningsreaktansen är ungefär 0,25 pu). Här har grundtonens spänningsfall över induktorn beaktats och en korrektionsterm införts mellan de olika kurvorna, så att de tre kurvorna är helt jämförbara (gäller även sinusmatningskurvan).

2.6 Analys

Att analytiskt ta fram järnförlusterna är alltså svårt, men man kan inskränka sig till att ur kurvan utan serieinduktor (bilaga 1.1) försöka ta fram kurvorna med induktor (bilaga 1.2-1.3). Om man studerar det ekvivalenta schemat för de olika tonerna, så finner man att i tomgång är eftersläpningen ungefär noll för grundtonen.

Detta medför att rotorresistansen blir mycket stor och den enda grundtonsström som flyter är magnetiseringsströmmen. Om statorresistansen försummas blir grundtonsströmmen på statorsidan:

\[I_{11} = \frac{V_1-E_1}{X_1+X}\] \[E_1 = X_m I_{11}\] \[I_{11} = \frac{V_1}{X_1+X_m+X}\]

Däremot är eftersläpningen betydligt större för övertonerna ((s \approx 1)). Rotorresistansen blir då låg och magnetiseringsreaktansen shuntas i stort sett bort av rotorimpedansen. Övertonsströmmarna på statorsidan blir lika med de på rotorsidan och om resistanserna försummas gäller:

\[I_{1\ddot{o}} = I_{2\ddot{o}} = \frac{V_{\ddot{o}}}{X_1+X_2+X}\]

En jämförelse mellan fallen med och utan serieinduktor ger alltså att grundtonsströmmen reduceras en faktor

\[\frac{X_1+X_m}{X_1+X_m+X}\]

medan övertonsströmmen reduceras en faktor

\[\frac{X_1+X_2}{X_1+X_2+X}.\]

Eftersom (X_m) är betydligt större än (X), (X_1) och (X_2) blir grundtonsreduktionen måttlig vilket medför att omriktarklämspänningens och motorklämspänningens grundton är ungefär lika, (V_1 \approx U_1). För övertonerna är (X), (X_1) och (X_2) jämförbara. Detta gör (spänningsdelning) att

\[U_{\ddot{o}} \approx V_{\ddot{o}} \frac{X_1+X_2}{X_1+X_2+X}.\]

Om övertonernas järnförluster kan anses vara proportionella mot övertonsspänningarnas kvadrat bör alltså nedanstående gälla:

\[P_{fe\ddot{o}}(X) = P_{fe\ddot{o}}(X=0) \frac{(X_1+X_2)^2}{(X_1+X_2+X)^2}.\]

Tas skillnaden mellan totala järnförlusten och grundtonsjärnförlusten (sinusförlusten) och reduceras med denna faktor och prickas in ovanpå grundtonsjärnförlusten erhålls de prickade värdena i bilaga 1.2-1.3. Dessa överensstämmer som synes väl med de ur totalförlusten (i tomgång) framräknade värdena (kryss). (Dessa idéer påverkas ej av strömförträngningen eftersom denna är lika stor för respektive överton i de tre fallen.)

Avsnitt 2.6 fortsätter på originalets sida 9.

Examensarbete i elektrisk effektomvandling

01b - Huvudtext, fortsättning

Rekonstruktion, pass 1. Denna fil omfattar originalets sidor 9-15 och avslutar huvudtexten. Den ansluter till 01-main-text.md. Texten har transkriberats från den skannade kopian och radbrytningar samt avstavningar har normaliserats. Figur 4 har utelämnats och ersatts med en kort platshållare. Formlerna har satts om i LaTeX.

3. Motorn under belastning

3.1 Allmänt

Hittills har förlusterna endast studerats under tomgång. För att komma fram till det praktiskt intressanta fallet belastas nu motorn. Eftersläpningen kommer då att öka och en ökad ström och effekt tas ut. Kopparförlusterna ökar och totalförlusterna (koppar och järn) kan, vid PWM-matning, uppgå till ca 10 kW för en motor vars märkeffekt är 75 kW.

De förluster som uppstår utöver förlusterna vid märklast och sinusmatning resulterar i en nedstämpling av motorn. Nedstämplingen medför att man måste ta ut mindre moment ur motorn för att hålla förlusteffekten nere, och större motorer krävs alltså för ett givet belastningsmoment. Om en serieinduktor läggs in i kretsen kan extraförlusterna minskas och nedstämplingsfaktorn förbättras.

Vid belastning blir inte spänningsfallet över induktorn försumbart (eftersom den ökade eftersläpningen ger en shuntning av magnetiseringsreaktansen även för grundtonen). Detta medför att det nu måste göras en avvägning mellan induktorns negativa spänningssänkande egenskaper och dess positiva dämpning av övertonsförlusterna i motorn. Väger man dessa mot varandra skulle man kunna finna en minimal förlust, om det inte vore så att medan förlusterna avtar med kvadraten på spänningen, så sjunker motorspänningen linjärt. En så stor induktans som möjligt blir därför lämplig vid obegränsad tillgång på spänning och utrymme, för att minska nedstämplingen i en given motor.

Figur 4. Ekvivalent schema för induktor och motor under belastning. Originalfiguren är utelämnad.

3.2 Belastning utan serieinduktor

Till att börja med studeras de allmänna förhållandena när motorn inte matas via en serieinduktor. Med hjälp av datorprogrammet har kopparförlusterna räknats fram för två olika fall. Dels då matningsspänningens (V) (här lika med (U)) grundton (V_1) har låtits vara direkt proportionell mot frekvensen. Dels då flödet har hållits konstant. Det senare innebär att spänningen (E_1) (se figur 4) måste variera linjärt med frekvensen eftersom

\[E_1 \sim j\omega\Psi_1 \sim j\omega\phi_1.\]

Att det första fallet inte ger konstant flöde beror på att vid låga frekvenser blir resistanserna jämförbara med reaktanserna och (E_1) blir då inte en enkel ickefasvriden linjär funktion av (V_1) längre.

I bilaga 1.4, figur 1 syns effekten av detta. Figuren visar de totala förlusterna i motorn vid konstant moment (700 Nm) som funktion av frekvensen. Kurva A representerar det första fallet med omriktarklämspänningens grundton

\[V_1 = kf.\]

På motsvarande sätt har sinusfallet beräknats och a-kurvan erhållits. I fallet A blir nedstämplingen (bilaga 1.4, figur 2)

\[\xi = 1-\frac{M}{M_n}\]

mycket stor. Eftersom (M\sim I) och (P_{cu}\sim I^2) blir

\[\xi = \sqrt{1-\frac{P_{cu n}}{P_{cu}}}.\]

Nedstämplingen blir, med utgångspunkt från detta, som störst vid låga frekvenser, vid PWM-matning ((\xi=18\%) vid 11 Hz). Här har beräkningarna grundats på antagandet att den forcerade kylningen gjort att alla förluster effektivt kunnat ledas bort, oberoende av varvtalet. I verkligheten har detta visat sig svårt att utföra, varför en ytterligare korrektionsterm måste införas för att ta hänsyn till denna effekt.

Hålls flödet konstant blir förhållandena annorlunda. Då minskar sinusförlusterna vid låga frekvenser eftersom kopparförlusterna är konstanta ((\phi=\text{konstant}\Rightarrow I=\text{konstant})) och järnförlusterna avtar med frekvensen (kurva b). I PWM-fallet fås ett förlustmaximum kring 30 Hz (kurva B) och nedstämplingen blir ca 14 %.

Man kan alltså notera att nedstämplingen kan variera mellan ca 8 och 14 % vid PWM-drift och konstant flöde, och att förlusterna är som störst vid 30 Hz.

3.3 Förlusternas induktansberoende

För att studera hur induktorn påverkar förlusterna vid en given frekvens har bilaga 1.5 framtagits. Här har belastningsmomentet varit 700 Nm och frekvensen 30 Hz. I figuren finns dels kopparförlusterna vid belastning, uppdelade i grundtonsförlust ((P_{cu1})) och övertonsförluster ((P_{cu\ddot{o}})), dels matningsspänningen (V_1) som funktion av frekvensen.

På samma sätt som för järnförlusterna kan man uttrycka

\[P_{cu\ddot{o}}(X) = P_{cu\ddot{o}}(X=0) \frac{(X_1+X_2)^2}{(X_1+X_2+X)^2}.\]

Storleksordningen på induktorn blir därför i trakten av kortslutningsreaktansen

\[X_k=X_1+X_2,\]

dvs omkring 0,25 pu (se bilaga 6). I diagrammet på bilaga 1.5 finns inritat de med programmet beräknade värdena (kryss) och de ur ovanstående erhållna värdena sammanslagna med grundtonsförlusten (prickar). Återigen är överensstämmelsen god. Det kvadratiska avtagandet gör att övertonsförlusterna har reducerats en faktor fyra då

\[X=X_1+X_2=X_k,\]

vilket kan ses som en grov tumregel för hur stor induktorn bör vara. Att notera är också hur snabbt erforderlig matningsspänning stiger med induktansen. Om induktansen blir något större än 4 mH (0,86 pu) krävs en matningsspänning (V) på (220\,V_{eff}), vilket motsvarar ett maximalt utnyttjande av mellanledsspänningen på 488 V. För ännu större induktanser kan konstant flöde inte upprätthållas.

3.4 Förlusternas frekvensberoende

Induktorns inverkan på förlusterna kan även beräknas som funktion av frekvensen. För en given induktans och ett givet belastningsmoment erhålls de minsta kopparförlusterna om motorflödet hålls konstant, oberoende av frekvensen.

Detta medför i sin tur att matningsspänningen måste höjas för att kompensera för spänningsfallet över induktorn och statorn. Vid låga frekvenser är det möjligt att genomföra eftersom man då ändå inte utnyttjar hela den tillgängliga spänningen (här (V_1=220\,V)), men när frekvensen stiger så når man en för varje induktor specifik frekvens då det inte går att ta ut mer spänning ur mellanledet. När denna gräns passeras måste istället kravet på konstant flöde släppas till förmån för kravet på konstant moment, vilket erhålls genom att eftersläpningen ökas.

Effekten av detta kan studeras i bilaga 1.6 och 1.7. Om ingen induktor finns i kretsen, uppstår inte problemet och kurvan ser ut som för (L=0). Samma konvexa utseende skulle också de andra kurvorna få om det inte vore för det ovan nämnda spänningstaket. För till exempel 1 mH (0,22 pu) kurvan ger sig detta tillkänna vid ungefär 44 Hz. Över denna frekvens stiger förlusterna starkt på grund av den ökade strömmen (upp till denna frekvens har konstant flöde medfört i stort sett konstant ström, (s\sim 1/f)). Ännu mer markant är detta i 2 mH 0,43 pu-fallet. Spänningsfallet blir då så stort över induktorn att det inte går att ta ut 700 Nm vid höga frekvenser. På grund av detta ter det sig lämpligt att vid en gränsfrekvens, som bestäms av att totalförlusterna med och utan induktor blir lika stora, koppla förbi induktorn. För frekvenser större än den specifika gränsfrekvensen följer förlusterna sedan kurvan för (L=0).

Om man gör på det sättet och beräknar den erforderliga nedstämplingen ur förlusterna, så erhålls bilaga 1.7. Den visar att en stor induktans minskar nedstämplingen vid låga frekvenser, men att svinget i nedstämpling blir stort. En liten induktor ger i stället en jämnare nedstämplingskurva.

3.5 Momentpulsationer

Övertonshalten i matningsspänningen ger upphov till momentpulsationer kring medelmomentet, vilka måste beaktas. Framförallt vid låga frekvenser blir dessa betydande varför metoden med femte- och sjundetonsundertryckning (se bilaga 2) används för att omfördela tonerna. Bilaga 1.8, figur 1 och 1.9 visar det totala momentets maximi- och minimivärden vid 700 Nm och 0 Nm ((\approx M_n) och 0) som funktion av frekvensen. Momenten har erhållits ur datorprogrammet som även tar hänsyn till elimineringen av låga övertoner. Kurvorna ger endast en överblick över pulsationerna kring medelmomentet och deras frekvensberoende. Om de ritas med fler punkter skulle sprången vid växlarna framgå tydligare.

En urkoppling av till exempel en 1 mH (0,22 pu) induktans vid 47 Hz skulle öka pulsationerna från ca (\pm150\,Nm) till (\pm300\,Nm), vilket inte betyder särskilt mycket om momentet är 700 Nm. Däremot innebär det en fördubbling vid låglast.

Kurvorna i bilaga 1.8, figur 1 och 1.9 visar också att pulsationerna är ungefär konstanta och oberoende av belastningsmomentet.

Minskningen i pulsationen som funktion av induktansen syns i bilaga 1.8, figur 2. Pulsationsmomentet är proportionellt mot strömmen vilket borde, i enlighet med tidigare beräkningar, ge

\[M_p(X) = M_p(X=0) \frac{X_1+X_2}{X_1+X_2+X}.\]

Detta svarar mot prickarna vilka väl överensstämmer med de ur programmet erhållna kryssen.

3.6 Viktberäkning

En viktberäkning kan vara av intresse för att utröna om man kan finna en minimal vikt hos motor + induktor vid märkmoment. Vikten beräknas enligt följande:

För varje specifik induktans beräknas en motorvikt och en induktorvikt. Motorvikten fås ur MBK 280 S-6S data. Vikten som funktion av längden hos de aktiva rotor- och statordelarna bestäms ur data i bilaga 6. Därefter antas att längden hos de aktiva delarna är direkt proportionell mot förlusteffekten. Induktorvikten som funktion av induktansen fås ur bilaga 5 i vilken en luftkyld induktor har optimerats.

Vikterna har införts i bilaga 1.10. Ur den kan man utläsa att det viktminimum som finns är mycket flackt, den besparing man gör i motorstorlek förloras i induktorvikt. Detta tar dock ej hänsyn till vinsterna i momentpulsationer eller hur mycket utrymme som finns tillgängligt.

4. Diskussion

4.1 Procedurens möjligheter och begränsningar

Den beräkningsprocedur som här har arbetats fram ger en möjlighet att för en godtycklig motor-induktorkombination bestämma förlusternas fördelning och storlek, spänningsfall och nedstämpling för olika frekvenser och spänningar. Detta ger, tillsammans med uppgifter om motorns och induktorns fysiska dimensioner och tillgängligt utrymme, ett underlag för valet av motor-induktorkombination.

Procedurens noggrannhet begränsas i viss mån av att en fyrkantspänning med raka flanker förutsatts. I verkligheten blir därför övertonshalten mindre och förlusterna minskar något. Minskningen uppvägs i viss mån av att friktionsförluster inte har medräknats.

Beräkningsrutinen har en begränsning i att det inte går att ur en given järnförlust vid sinusmatning räkna fram motsvarande järnförluster vid PWM-matning. Med utgångspunkt från bilaga 1.1 kan man dock dra den allmänna slutsatsen att järnförlusterna vid PWM-matning är ungefär en konstant term större än i sinusfallet för olika frekvenser, och att PWM-järnförlusterna vid 50 Hz är ungefär dubbelt så stora som sinusjärnförlusterna vid samma frekvens.

Hela detta arbete grundar sig på antagandet att den forcerade kylningen möjliggör effektiv kylning vid alla frekvenser. Detta gäller dock inte i verkligheten, utan nedstämplingen kommer att öka ytterligare med en faktor beroende av kylförhållandena vid varje specifikt fall.

4.2 Induktorns storlek vid fritt motorutrymme

Skall motorn användas i en sådan miljö att utrymmet för motor och induktor är i stort sett obegränsat visar det sig (bilaga 1.10) att användandet av en serieinduktor inte medför någon nämnvärd besparing. Ur denna synpunkt finns det därför inte någon anledning att använda serieinduktorn, utom för att begränsa momentpulsationerna.

4.3 Induktorns storlek vid begränsat motorutrymme

Om dimensionerna för motorutrymmet är givna, som till exempel boggien i ett lok, faller viktargumentet bort. Det gäller då att få ut maximalt moment ur en given motor. I sådana fall bör induktorn väljas så stor att reduktionen i övertoner blir rimlig. Övertonsförlusterna som funktion av induktansen kan approximativt uttryckas:

\[P_{cu\ddot{o}}(X) = P_{cu\ddot{o}}(X=0) \frac{(X_1+X_2)^2}{(X_1+X_2+X)^2},\] \[P_{fe\ddot{o}}(X) = P_{fe\ddot{o}}(X=0) \frac{(X_1+X_2)^2}{(X_1+X_2+X)^2},\] \[X_1+X_2\approx X_k.\]

En reduktion av övertonsförlusterna jämfört med förlusterna utan induktor till en fjärdedel kräver alltså en induktor (L=L_k). Denna ger också en halvering av momentpulsationerna

\[M_p(X) = M_p(X=0) \frac{X_1+X_2}{X_1+X_2+X}.\]

Induktorn bör väljas i denna storleksordning, en mindre induktor medför ingen nämnvärd förbättring jämfört med matning utan induktor medan en stor induktor, t ex (L=2\times L_k), ger mycket små marginalförbättringar.

En stor induktor får även en låg gränsfrekvens vid vilken flödet ej kan hållas konstant i motorn och motorförlusterna ökar (bilaga 1.6, 1.7). Oberoende av induktorstorleken bör induktorn kopplas ur vid den frekvens då förlusterna med och utan induktor i kretsen är lika stora.

4.4 Litteraturförteckning

P. Krause, Method of multiple reference frames applied to the analysis of symmetrical induction machinery. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, vol. PAS-87, no. 1, pp. 218-226.

F. G. G. de Buck, Design adaption of inverter supplied induction motors. Electric Power Applications, May 1978, vol. 1, no. 2, pp. 54-60.

E. Alm, Elektroteknik Band III, Elektromaskinlära, del 2A, 1927, pp. 356-362.

F. Gustavson, Kompendium i elektromekanisk energiomvandling, del 1, 1978, pp. 4.1-4.20.

T. Porteous, Programbeskrivningar till PWMOT och RESIST.

Huvudtexten avslutas här. Bilaga 1 består huvudsakligen av diagram och har utelämnats enligt projektets upplägg. Nästa textavsnitt är bilaga 2, mätningens utseende och Fourieranalys.

Bilaga 2. Matningsspänningens utseende och Fourieranalys

1. Kurvform

Matningen från omriktaren kan i det enklaste fallet göras som en fyrkantspänning (referensspänningen) som multipliceras med en modulationsspänning, bestående av pulser vars bredd moduleras. En sådan matning ger dock upphov till svåra femte- och sjundetons pulsationer vid framförallt låga frekvenser. För att eliminera dessa hackas referensspänningen upp på ett sådant sätt att dessa låga övertoner förläggs i högre frekvenser.

Kurvformerna $R(\varphi)$ och $M(\theta)$. Originalfigurer utelämnade.

Dessa båda signaler fourierutvecklas och multipliceras med varandra.

2. Fourierutveckling

$R(\varphi)$ är en udda funktion. Fourierutvecklingen innehåller därför endast sinustermer.

Antalet hack kan anses vara jämnt, ty ett udda antal hack kan överföras till ett jämnt antal utan att förhållandena ändras (placera ett hack i $\pi/2$).

\[\begin{aligned} R_n &= \frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} R(\varphi)\sin(n\varphi)\,d\varphi \\ &= \frac{4}{\pi}\int_0^{\pi/2} R(\varphi)\sin(n\varphi)\,d\varphi \\ &= \frac{4}{\pi}\left[ \int_0^{\pi/2}\sin(n\varphi)\,d\varphi -2\sum_{k=1}^{j} \int_{\alpha_{2k-1}}^{\alpha_{2k}}\sin(n\varphi)\,d\varphi \right] \\ &= \{\text{den ohackade signalen minus hacken}\} \\ &= \frac{4}{n\pi}\left[ 1+2\sum_{k=1}^{j} \left(\cos(n\alpha_{2k})-\cos(n\alpha_{2k-1})\right) \right]. \end{aligned}\]

Det vill säga

\[R_n = \frac{4}{n\pi} \left[ 1+2\sum_{k=1}^{2j}(-1)^k\cos(n\alpha_k) \right].\]

$M(\theta)$ är en jämn funktion. Fourierutvecklingen innehåller därför endast cosinustermer.

\[\begin{aligned} M_i &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}M(\theta)\cos(i\theta)\,d\theta \\ &= \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}M(\theta)\cos(i\theta)\,d\theta \\ &= \frac{2}{\pi}\int_0^{m\pi}\cos(i\theta)\,d\theta \\ &= \frac{2}{i\pi}\sin(i m\pi). \end{aligned}\] \[M_0=\text{modulationssignalens medelvärde}=m.\]

Detta ger $M$:s fourierserie, inklusive fasförskjutningen:

\[M(\theta-\theta_0) = m+\sum_{i=1}^{\infty}M_i\cos\left[i(\theta-\theta_0)\right].\]

Referenssignalens vinkel är

\[\psi=\omega t.\]

Modulationssignalens vinkel är

\[\theta=\int_0^t N\omega\,dt,\]

där $N$ är antalet modulationspulser i referenssignalens koordinatsystem,

\[N=6p, \qquad p=1,2,3,\ldots\]

Om referenssignalen verkar i ett trefassystem utan nollföljd elimineras de frekvenser som är multiplar till tre, vilket lämnar toner av ordningstalet

\[6q\pm1, \qquad q=1,2,3,\ldots\]

Multiplikation av de båda signalerna ger:

\[\begin{aligned} R(\psi)M(\theta-\theta_0) &= \left[ \sum_{n=1,5,7,\ldots}^{\infty}R_n\sin(n\omega t) \right] \left[ m+\sum_{i=1}^{\infty}M_i\cos\left[i(N\omega t-\theta_0)\right] \right] \\ &= m\sum_{n=1,5,7,\ldots}^{\infty}R_n\sin(n\omega t) \\ &\quad+ \sum_{n=1,5,7,\ldots}^{\infty} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{R_nM_i}{2} \Bigl\{ \sin\left[(n+iN)\omega t-i\theta_0\right] \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad + \sin\left[(n-iN)\omega t+i\theta_0\right] \Bigr\}. \end{aligned}\]

Bilaga 3. Beräkningsmodellen

Rekonstruktion, pass 1. Denna fil omfattar originalets bilaga 3.1–3.5 (PDF-sidorna 28–32). Texten har transkriberats från den skannade kopian. Figur 1 har utelämnats och ersatts med en kort platshållare. De handskrivna formlerna har satts om i LaTeX.

1. Förutsättningar

För att kunna studera hur asynkronmaskinen arbetar vid PWM-matning krävs en matematisk modell. Denna grundar sig på:

dq-transformation
fourieranalys och superposition
nollföljden existerar inte

En tvåpolig trefasmaskin kan ritas (med induktor i serie på statorsidan):

Figur 1. Tvåpolig trefasmaskin med en induktor i serie på statorsidan. Originalfiguren är utelämnad.

2. dq-transformation

Ur figur 1 erhålls uttryck för spänningarna, som efter dq-transformationen

\[\begin{bmatrix} \gamma_{d1} \\ \gamma_{q1} \end{bmatrix} = \frac{2}{3} \begin{bmatrix} \sin\theta & \sin\left(\theta-\frac{2\pi}{3}\right) & \sin\left(\theta+\frac{2\pi}{3}\right) \\ \cos\theta & \cos\left(\theta-\frac{2\pi}{3}\right) & \cos\left(\theta+\frac{2\pi}{3}\right) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \gamma_{r1} \\ \gamma_{s1} \\ \gamma_{t1} \end{bmatrix}\]

ger följande uttryck på statorsidan:

\[U_{d1} = p\Psi_{d1} - \Psi_{q1}p\theta + (R+R_1)i_{d1},\] \[U_{q1} = p\Psi_{q1} + \Psi_{d1}p\theta + (R+R_1)i_{q1},\]

där $\theta$ är vinkeln mellan q-axeln och statorns r-axel.

För rotorn erhålls på motsvarande sätt ($\beta$ = vinkeln mellan q-axeln och rotorns r-axel):

\[\begin{bmatrix} \gamma_{d2} \\ \gamma_{q2} \end{bmatrix} = \frac{2}{3} \begin{bmatrix} \sin\beta & \sin\left(\beta-\frac{2\pi}{3}\right) & \sin\left(\beta+\frac{2\pi}{3}\right) \\ \cos\beta & \cos\left(\beta-\frac{2\pi}{3}\right) & \cos\left(\beta+\frac{2\pi}{3}\right) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \gamma_{r2} \\ \gamma_{s2} \\ \gamma_{t2} \end{bmatrix}\]

och

\[U_{d2} = p\Psi_{d2} - \Psi_{q2}p\beta + R_2 i_{d2},\] \[U_{q2} = p\Psi_{q2} + \Psi_{d2}p\beta + R_2 i_{q2}.\]

Uttrycken för de sammanlänkade flödena blir:

\[\Psi_{d1} = (L+L_1+M)i_{d1} + \frac{N_2}{N_1}M i_{d2},\] \[\Psi_{q1} = (L+L_1+M)i_{q1} + \frac{N_2}{N_1}M i_{q2},\] \[\Psi_{d2} = \left(L_2+\frac{N_2}{N_1}M\right)i_{d2} + M i_{d1},\] \[\Psi_{q2} = \left(L_2+\frac{N_2}{N_1}M\right)i_{q2} + M i_{q1},\]

om man använder samma dq-transformation.

För att förenkla räknearbetet kan det vara lämpligt att överföra rotorstorheterna till statorns referensram. Man får då:

\[U'_{d2} = p\Psi'_{d2} - \Psi'_{q2}p\beta + R'_2 i'_{d2},\] \[U'_{q2} = p\Psi'_{q2} + \Psi'_{d2}p\beta + R'_2 i'_{q2},\]

där

\[\Psi_{d1} = (L+L_1)i_{d1} + M(i_{d1}+i'_{d2}),\] \[\Psi_{q1} = (L+L_1)i_{q1} + M(i_{q1}+i'_{q2}),\] \[\Psi'_{d2} = L'_2 i'_{d2} + M(i_{d1}+i'_{d2}),\] \[\Psi'_{q2} = L'_2 i'_{q2} + M(i_{q1}+i'_{q2}).\]

Här har

\[i'_2=\frac{N_2}{N_1}i_2,\] \[L'_2=\frac{N_1}{N_2}L_2\]

använts.

Sammanställs detta i en matris erhålls:

\[\begin{bmatrix} U_{d1} \\ U_{q1} \\ U'_{d2} \\ U'_{q2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\omega(L+L_1+M) & R+R_1+(L+L_1+M)p & -\omega M & Mp \\ R+R_1+(L+L_1+M)p & \omega(L+L_1+M) & Mp & \omega M \\ -(\omega-\omega_r)M & Mp & -(\omega-\omega_r)L'_2 & R'_2+L'_2p \\ Mp & (\omega-\omega_r)M & R'_2+L'_2p & (\omega-\omega_r)L'_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_{d1} \\ i_{q1} \\ i'_{d2} \\ i'_{q2} \end{bmatrix},\]

där $\omega_r$ är rotorns vinkelhastighet.

Slutligen fås ett uttryck för momentet:

\[M_v = M\left(\frac{a}{2}\right)\left(\frac{P}{2}\right) \left(i_{q1}i'_{d2}-i_{d1}i'_{q2}\right),\]

där $a$ är antalet faser och $P$ antalet poler.

3. Fourieranalys

För att föra resonemanget vidare införs nu den kurvform som omriktaren ger. Beteckningen s (till exempel $V_{q1}^{s}$) införs som anger variabler i statorns referenssystem, e betecknar ett synkront roterande referenssystem.

Ur $\gamma$-ekvationerna erhålls:

\[\begin{aligned} V_{d1}^{s} &= \frac{1}{\sqrt{3}}(-V_{s1}+V_{t1}) \\ &= \{\text{fourierutveckling}\} \\ &= \sum_{k=1}^{\infty} \left( V_{kd\alpha}\cos(k\omega_e t) + V_{kd\gamma}\sin(k\omega_e t) \right), \end{aligned}\] \[V_{q1}^{s} = V_{t1} = \sum_{k=1}^{\infty} \left( V_{kq\alpha}\cos(k\omega_e t) + V_{kq\gamma}\sin(k\omega_e t) \right).\]

Om man uttrycker detta i e-systemet fås:

\[V_{d1}^{e} = V_{q1}^{s}\sin(\omega_e t) + V_{d1}^{s}\cos(\omega_e t),\] \[V_{q1}^{e} = V_{q1}^{s}\cos(\omega_e t) - V_{d1}^{s}\sin(\omega_e t).\]

Insättning av uttrycken för $V_{d1}^{s}$ och $V_{q1}^{s}$ ger framåt- och bakåtroterande vågor som betecknas $+e$ och $-e$.

\[\begin{aligned} V_{kd1}^{+e} = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty} \Bigl[ &-(V_{kq\alpha}-V_{kd\gamma}) \sin((k-1)\omega_e t) \\ &+(V_{kq\gamma}+V_{kd\alpha}) \cos((k-1)\omega_e t) \Bigr], \end{aligned}\] \[\begin{aligned} V_{kq1}^{+e} = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty} \Bigl[ &(V_{kq\alpha}-V_{kd\gamma}) \cos((k-1)\omega_e t) \\ &+(V_{kq\gamma}+V_{kd\alpha}) \sin((k-1)\omega_e t) \Bigr], \end{aligned}\] \[\begin{aligned} V_{kd1}^{-e} = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty} \Bigl[ &(V_{kq\alpha}+V_{kd\gamma}) \sin((k+1)\omega_e t) \\ &-(V_{kq\gamma}-V_{kd\alpha}) \cos((k+1)\omega_e t) \Bigr], \end{aligned}\] \[\begin{aligned} V_{kq1}^{-e} = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty} \Bigl[ &(V_{kq\alpha}+V_{kd\gamma}) \cos((k+1)\omega_e t) \\ &+(V_{kq\gamma}-V_{kd\alpha}) \sin((k+1)\omega_e t) \Bigr]. \end{aligned}\]

För att kunna lösa ekvationerna för de olika övertonerna är det lämpligt att för var och en av dessa lägga fast ett referenssystem för att få konstanta parametrar. Därför transformeras de olika tonerna var för sig:

\[\gamma_{d1}^{+ke} = \gamma_{kq1}^{+e}\sin((k-1)\omega_e t) + \gamma_{kd1}^{+e}\cos((k-1)\omega_e t),\] \[\gamma_{q1}^{+ke} = \gamma_{kq1}^{+e}\cos((k-1)\omega_e t) - \gamma_{kd1}^{+e}\sin((k-1)\omega_e t),\] \[\gamma_{d2}^{+ke} = \gamma_{kq2}^{+e}\sin((k-1)\omega_e t) + \gamma_{kd2}^{+e}\cos((k-1)\omega_e t),\] \[\gamma_{q2}^{+ke} = \gamma_{kq2}^{+e}\cos((k-1)\omega_e t) - \gamma_{kd2}^{+e}\sin((k-1)\omega_e t),\]

och

\[\gamma_{d1}^{-ke} = -\gamma_{kq1}^{-e}\sin((k+1)\omega_e t) + \gamma_{kd1}^{-e}\cos((k+1)\omega_e t),\] \[\gamma_{q1}^{-ke} = \gamma_{kq1}^{-e}\cos((k+1)\omega_e t) + \gamma_{kd1}^{-e}\sin((k+1)\omega_e t),\] \[\gamma_{d2}^{-ke} = -\gamma_{kq2}^{-e}\sin((k+1)\omega_e t) + \gamma_{kd2}^{-e}\cos((k+1)\omega_e t),\] \[\gamma_{q2}^{-ke} = \gamma_{kq2}^{-e}\cos((k+1)\omega_e t) + \gamma_{kd2}^{-e}\sin((k+1)\omega_e t).\]

Med rotorspänningarna lika med noll och en hopplockning av ovanstående ekvationer erhålls:

\[V_{d1}^{+ke} = \frac{1}{2}(V_{kq\alpha}+V_{kd\gamma}),\] \[V_{q1}^{+ke} = \frac{1}{2}(V_{kq\gamma}-V_{kd\alpha}),\] \[V_{d1}^{-ke} = \frac{1}{2}(V_{kq\alpha}-V_{kd\gamma}),\] \[V_{q1}^{-ke} = \frac{1}{2}(V_{kq\alpha}+V_{kd\gamma}).\]

Strömmarna kan nu lösas genom att inversen till

\[\begin{bmatrix} V_{d1} \\ V_{q1} \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}^{\pm ke} = \begin{bmatrix} -n\omega_e(L+L_1+M) & R+R_1+(L+L_1+M)p & -n\omega_eM & Mp \\ R+R_1+(L+L_1+M)p & n\omega_e(L+L_1+M) & Mp & n\omega_eM \\ -(n\omega_e-\omega_r)M & Mp & -(n\omega_e-\omega_r)L'_2 & R'_2+L'_2p \\ Mp & (n\omega_e-\omega_r)M & R'_2+L'_2p & (n\omega_e-\omega_r)L'_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_{d1} \\ i_{q1} \\ i'_{d2} \\ i'_{q2} \end{bmatrix}^{\pm ke}\]

löses. Dessa ger sedan på sedvanligt sätt förluster och moment ur det vanliga ekvivalenta schemat för de framåt- och bakåtroterande vågorna.

Bilaga 4. Programbeskrivning PWMIND

Rekonstruktion, pass 1. Denna fil omfattar originalets bilaga 4.1–4.5 (PDF-sidorna 33–37). Texten har transkriberats från den skannade kopian. Kretsbilden och ritningen av rotorspåret har utelämnats och ersatts med korta platshållare. Programlistan och körexemplen, som utgör punkterna 9 och 10 i originalets innehållsförteckning, behandlas i separata filer.

Innehållsförteckning

Allmänt
Tillämpningsområde
Beräkningsordning
Indata
Utmatning
“Konstant flöde”
”s-iteration”
Körinstruktioner
Programlista
Körexempel

1. Allmänt

Programmet PWMIND är en modifiering av programmet PWMOT, och utför beräkningar av förluster, spänning, ström och moment för en godtycklig kombination av serieinduktor och asynkronmaskin.

Figur. Linjärt ekvivalentschema för en serieinduktor och en asynkronmaskin. Originalfiguren är utelämnad.

2. Tillämpningsområde

Korrekta resultat erhålls för alla linjära ekvivalenta scheman, där matningsspänningen har godtycklig form och frekvens. Programmet tar även hänsyn till strömförträngningsfenomen som vid framför allt höga frekvenser blir betydande.

3. Beräkningsgång

Först gör programmet en fourieranalys av spänningen. Därefter beräknas strömmarna för varje delton ur maskindata och spänningens amplitud. Ur detta erhålls till sist spänningsfall över induktorn samt förluster, moment och spänningsfall i motorn.

4. Indata

Till att börja med begärs indata för spänningen:

Programvariabel	Storhet	Hänvisning
$N$	$J’$	Bilaga 2
$\mathrm{AIN}(I)$	$\alpha_i$	Bilaga 2
$\mathrm{NMAX}$	Den högsta termen i fourierutvecklingen
$\mathrm{APK}$	$m$	Bilaga 2
$\mathrm{MK}$	$p$	Bilaga 2
$\mathrm{FFT}$	$\theta_0$	Bilaga 2

Alternativt kan koefficienterna för vissa deltoner erhållas genom en kontinuerlig fourierutveckling (IS, NRWANT(I)).

Om konstant flöde önskas, se under denna rubrik.

Sedan följer inmatning av maskinparametrar, vilket endast behöver göras före första beräkningen eller när nya maskindata önskas.

Programvariabel	Betydelse	Enhet/anmärkning
`RS`	Statorresistans	$\Omega/\text{fas}$, ekvivalent Y
`XLS`	Statorreaktans	Samma
`XM`	Magnetiseringsreaktans	Samma
`XLR`	Rotorreaktans	Samma
`RRO`	Rotorresistans	Samma
`P`	Poltal
`FB`	Basfrekvens	Hz

Figur. Måttskiss för rotorspåret. Originalfiguren är utelämnad.

De handskrivna beteckningarna vid figuren anger:

SPTR: spårtyp enligt programmet RESIST
$\rho_2$: ledarresistivitet
$R_{\mathrm{rat}}$: kvoten mellan spårets medeldiameter och rotorns medeldiameter

Ovanstående visar måtten för rotorspåren, vilka krävs vid beräkningen av strömförträngningen.

Om s-iteration önskas, se under denna rubrik.

För att starta beräkningen behövs dessutom:

Programvariabel	Betydelse	Enhet
`FM0`	Aktuell frekvens	Hz
`SM`	Eftersläpning
`UD/2`	Halva mellanledsspänningen	V

För serieinduktorn behövs:

Programvariabel	Betydelse	Enhet
`R`	Induktorresistans	$\Omega/\text{fas}$
`L`	Induktorinduktans	H/fas

5. Utmatning

De utmatade värdena förklarar sig själva, men observera att spänningarna är toppvärden.

6. “Konstant flöde”

När man använder asynkronmaskinen vid olika frekvenser eftersträvar man alltid konstant flöde $\Phi$, för att minimera förlusterna vid konstant belastningsmoment. Detta flöde $\Phi$ är proportionellt mot $E/f$, varför man för konstant flöde skall hålla $E$ linjärt mot frekvensen (för grundton). Eftersom det uppstår spänningsfall över induktorn och statorimpedanserna måste klämspänningen $V$ hela tiden ökas för att bibehålla konstant flöde. Detta är främst märkbart vid låga frekvenser.

$V$ höjs genom att pulskvoten ökas utöver det normala värdet på

\[\mathrm{APK}=\frac{\mathrm{FM0}}{\mathrm{FB}}.\]

På så sätt blir modulationssignalen bredare och grundtonens toppvärde höjs. Detta går dock endast att upprätthålla vid låga frekvenser och små induktanser, eftersom pulskvoten annars blir större än ett, vilket är omöjligt.

Om flödet skall hållas konstant svarar man alltså med en etta på frågan. Detta innebär att programmet går in i en iterativ slinga mellan 0800 och 3060. Slingan börjar med att beräkna fouriertermerna. Därefter beräknas toppvärdet av flödesspänningen EQ (= programmets flödesspänning) för grundton. Skiljer sig denna från den önskade flödesspänningens toppvärde E1 så görs ett återhopp till 103 och pulskvoten APK ändras.

På detta sätt fortsätter iterationen tills EQ och E1 skiljer sig högst 0,4 %. Då görs uthopp och programmet fortsätter som vanligt med den senast använda pulskvoten.

OBS! $E$ är toppvärde.

7. “s-iteration”

Vid tillräckligt stora frekvenser eller induktanser går flödet inte att hålla konstant. I stället måste man öka eftersläpningen för att erhålla konstant moment.

För att med ett givet moment kunna ta fram tillräcklig eftersläpning har en iterativ slinga lagts in mellan 1920 och 3140. Om man svarar ja på s-iterationsfrågan kommer denna slinga att genomlöpas för grundton. Vid 3140 matas sedan grundtonsmomentet ($\approx$ totala momentet) ut. Om detta skiljer sig från det önskade momentet går man in igen med ett annat s-värde.

Varning. Eftersom slingorna griper in i varandra bör man se upp. Görs till exempel en konstantflödesiteration är det olämpligt att samtidigt gå in i s-iterationsslingan.

8. Körinstruktioner

Programmet är gjort i TIME SHARING och körs därför på terminal. Efter inloggning skrivs:

FORT
RUN CPWMIND;CSUBROUT

på vilket terminalen svarar:

LOADER DIAGNOSTICS ......

Sedan begär programmet parametrar beskrivna som indata i punkt 4.

Ytterligare information kan fås ur programbeskrivningen till PWMOT.

Bilaga 4. Programlista PWMIND — del 1

Rekonstruktion, pass 1. Denna fil omfattar originalets bilaga 4.6–4.9 (PDF-sidorna 38–41), från rad 0100 till rad 2490 i programlistan.

Programtexten är återgiven i fast FORTRAN-format så långt skanningen medger. Punktmatrisskriften gör denna del mindre säker än den löpande texten. Några svårlästa variabelnamn och fortsättningsrader bör därför kontrolleras mot originalet i en senare passering. Svenska texter i PRINT-satser har återställts med å, ä och ö där de är tydliga.

Bilaga 4.6 — original sida 38

0100C     PROGRAM FÖR MASKINBERÄKNING MED PWM REFERENS-
0110C     OCH MODULATIONSPULSER SOM INDATA
0120C     PROGRAMMET BERÄKNAR MOMENTANVÄRDEN PÅ SPÄNNING,
0130C     STRÖMMAR OCH MOMENT. FÖRLUSTER BERÄKNAS
0140C     *******************************************************
    DIMENSION RES(50,5),AIN(10),NRWANT(50),KIND(50),IIND(50)
    DIMENSION ABM(50,5),U(50,2,2),UDQ(50),UDG(50),UDA(50),
     &              VOD(50)
    DIMENSION DELTAU(50,2)
    DIMENSION VOD(50,4),HM(20),EE(4),SI(4),BS(20)
    DIMENSION AINTID(10)
    DIMENSION H(20),BC(20),RHO(20)
    DIMENSION A(50,2,4),RROT(50,2),EFF(50,2)
    COMMON/LABEL2/RS,LS,M,LR,RR,WE,WR,A(4,4),RI,LI,B(4,4)
    COMMON/LABEL1/IND(199)
    REAL PI/3.14159/
    REAL MOM1
    REAL KM,LS,LR,M,LI
    REAL PCU1,PCU2,IQST,IDST,IQRT,IDRT,MOMT
    CHARACTER TEXT*42
  1 CONTINUE
    DO 3 I=1,50
    NRWANT(I)=0
          KIND(I)=0
          IIND(I)=0
    IF(I.LT.11) AIN(I)=0.
  3 CONTINUE
    DO 5 I=2,198,2
    IND(I)=3*I-1
  5 IND(I+1)=3*I+1
    IND(1)=1
    PRINT,"GE ANTAL ARGUMENT (ALFA) SOM INTE=0"
    READ,N
    NTID=N
    PRINT,"GE ARGUMENTEN I GRADER"
    READ,(AINTID(I),I=1,N)
    DO 10 I=1,N
 10 AIN(I)=AINTID(I)*PI/180
    DO 7 I=1,N
    AINTID(I)=AIN(I)
  7 CONTINUE
    PRINT,"ÖNSKAS SÄRSKILDA FREKVENSER? 1=JA"
    READ,IS
    IF(IS.NE.1) GO TO 15
    PRINT,"GE ANTALET ÖNSKADE FREKVENSER"
    READ,NT
    PRINT,"GE FREKVENSERNA SOM F/F0, F0=GRUNDTON"
    READ,(NRWANT(I),I=1,NT)
    GO TO 40
 15 PRINT,"GE HÖGSTA ÖNSKADE FREKVENS F/F0, F0=GRUNDTON"
    READ,NMAX
    DO 20 I=1,199
    IF(IND(I).GT.NMAX) GO TO 30
 20 NRWANT(I)=IND(I)
 30 NT=I-1
 40 CONTINUE
    PRINT,"GE PULSKVOT"
    READ,APK
    PRINT,"GE (ANTALET PULSER PER PERIOD)/6"
    READ,MK
    MKN=6*MK
    PRINT,"GE FASFÖRSKJUTNING I GRADER"
    READ,FFI

Bilaga 4.7 — original sida 39

    PRINT,"GE MINSTA AMPLITUD SOM SKALL ADDERAS"
    READ,RMMIN
    FFI=FFI*PI/180
    IE=2
    PRINT,"ÖNSKAS KONSTANT FLÖDE? 1=JA"
    READ,IE
    IF(IE.NE.1) GOTO 107
    PRINT,"GE ÖNSKAT E-VÄRDE"
    READ,E1
107 CONTINUE
103 CONTINUE
0810C
    WRITE(6,104) APK
104 FORMAT(1X,"PULSKVOT=",F10.4)
    K1=0
    N=NTID
    DO 109 I=1,N
109 AIN(I)=AINTID(I)
    DO 200 J=1,NT
    R1=APK*REFK(N,AIN,NRWANT(J))
    R2=NRWANT(J)
    R3=0
    CALL FIND1(NRWANT(J),MKN,KIND,IIND,M1)
    IF(M1.LT.1) GO TO 120
    DO 110 J1=1,M1
    RM=AMT(APK,IIND(J1))*REFK(N,AIN,KIND(J1))/2.
    FI=-IIND(J1)*FFI
    IF(ABS(RM).LT.RMMIN) GO TO 110
    CALL ADD(RM,R1,FI,R3,FI,RR1,RR3)
    R1=RR1
    R3=RR3
110 CONTINUE
120 CONTINUE
    CALL FIND2(NRWANT(J),MKN,KIND,IIND,M2)
    IF(M2.EQ.0) GO TO 150
    DO 140 J2=1,M2
    K2=IABS(KIND(J2))
    I2=IABS(IIND(J2))
    RM=AMT(APK,I2)*REFK(N,AIN,K2)/2.
    RM=RM*SIGN(1.,KIND(J2))
    IF(ABS(RM).LT.RMMIN) GO TO 140
    FI=FFI*IIND(J2)
    CALL ADD(RM,R1,FI,R3,FI,RR1,RR3)
    R1=RR1
    R3=RR3
140 CONTINUE
150 K1=K1+1
    RES(K1,1)=R1
    RES(K1,2)=R2
    RES(K1,3)=R3
200 CONTINUE
1210C
    IF(IE.EQ.1) GOTO 411
    WRITE(6,420)
420 FORMAT(1X,5(1H*),/T10,"RESULTAT AV FOURIERANALYS:",
     &       /5(1H*),/T10,"F/F0",5X,"AMPLITUD",3X,"FASVINKEL",
     &       /70(1H-))
    WRITE(6,430)(RES(I,2),RES(I,1),RES(I,3),I=1,K1)
430 FORMAT(1X,T10,F4.0,5X,F7.5,2X,F9.5)
440 CONTINUE
411 CONTINUE

Bilaga 4.8 — original sida 40

1300      PRINT,"ÖNSKAS NY FOURIER-ANALYS ? 1=JA"
1310      READ,IIVS
1320      IF(IIVS.EQ.1) GO TO 1
1330      PRINT,"NYA MASKINKONSTANTER ? 1=JA"
1340      READ,MASK
1350C
1360      K3=K1
1370      IF(MASK.NE.1) GOTO 405
1380      PRINT,"ÖNSKAS MBK 280 S-6:S MASKINKONSTANTER? 1=JA"
1390      READ,IMBK
1400      IF(IMBK.NE.1) GOTO 404
1410      RS=.048
          XLS=.21
          XM=3.886
          XLR=.16
          RRO=.051
          P=6
          FB=50
1420      SPTR=2
          BS21=3.95
          BS22=3.95
          HS2=29.2
          BSY2=2
          HSY2=1
1430      BSMR=0
          HSMR=0
          BCR1=3.75
          BCMR=0
          HCR=28
          RHO2=.0425
          RRAT=.65
1440  404 CONTINUE
1450      IF(IMBK.EQ.1) GOTO 405
1460      PRINT,"GE INDATA: RS,XLS,XM,XLR,RRO,P,FB"
1470      READ,RS,XLS,XM,XLR,RRO,P,FB
1480      PRINT,"ROTOR-SPTR: BS21,BS22,HS2,BSY2,HSY2,BSMR,HSMR",
1490     &      " BCR1,BCMR,HCR,RHO2,RRAT"
1500      READ,SPTR,BS21,BS22,HS2,BSY2,HSY2,BSMR,HSMR,
1510     &     BCR1,BCMR,HCR,RHO2,RRAT
1520  405 CONTINUE
1530      PRINT,"ÖNSKAS S-ITERATION? 1=JA"
1540      READ,IIVS
1550  390 PRINT,"GE FM0, SM, UD/2"
1560      READ,FM0,SM,UM1
1570      RI=0
          LI=0
1580      PRINT,"SKALL SERIEREAKTOR INGÅ I BERÄKNINGARNA? 1=JA"
1590      READ,KS
1600      IF(KS.NE.1) GOTO 392
1610      PRINT,"GE SERIEREAKTORDATA: R,L"
1620      READ,RI,LI
1630      XL=2*PI*FB*LI
1640  392 CONTINUE
1650  397 CONTINUE
1660  394 CONTINUE
1670      CALL SARE(SPTR,BS21,BS22,HS2,BSY2,HSY2,BSMR,HSMR,
1680     &          BCR1,BCMR,HCR,RHO2,N,BS,H,BC,RHO)
1690      WRITE(6,530)
1700  530 FORMAT(1X,5(1H*))
1710C     UPPLÄGGNING AV RESULTAT FRÅN FOURIER-ANALYS
1720C     3-FAS TILL Q OCH D-AXEL
1730      WRITE(6,545)
1740C
1750      K1=K3
1760      IF(IIVS.EQ.1) K1=1
1770      IF(IE.EQ.1) K1=1
1780      DO 540 I=1,K1
1790      A2=RES(I,1)*SIN(RES(I,3))+UM1
1800      B3=RES(I,1)*COS(RES(I,3))+UM1
1810      ABM(I,1)=RES(I,2)
1820      ABM(I,2)=A2
1830      ABM(I,3)=B3
1840      IN=ABM(I,1)
1850  540 WRITE(6,550) A2,IN,B3,IN
1860C
1870      PRINT,"COPY"
          READ,STRUNT
1880  545 FORMAT(1X,6(1H*),/T10,"SPÄNNING Q-AXEL")
1890  550 FORMAT(1X,T10,F10.3,"*COS(",I2,"*WT) +",

Bilaga 4.9 — original sida 41

   &      I2,"*WT) + ",F10.3,"*SIN(",I2,"*WT) +")
559 CONTINUE
    WRITE(6,530)
1930C     WQ & WD
    S2=2/SQRT(3)
1950C
    K1=K3
    IF(IIVS.EQ.1) K1=1
    IF(IE.EQ.1) K1=1
    DO 560 I=1,K1
    ABM(I,4)=S2*ABM(I,3)*SIN(ABM(I,1)*2*PI/3)
    ABM(I,5)=-S2*ABM(I,2)*SIN(ABM(I,1)*2*PI/3)
    IN=ABM(I,1)
560 CONTINUE
2040C
    XS=XLS+XM
    XR=XLR+XM
    WP=2*PI*FB
    WE=2*PI*FM0
    LS=XS/WP
    M=XM/WP
2110C
    EE(3)=0.
    EE(4)=EE(3)
2140C
    IF(KS.NE.1) GOTO 699
    DO 698 K=1,50
    DO 698 J=1,2
    DO 698 I=1,2
    U(K,J,I)=0.0
698 CONTINUE
699 CONTINUE
    K1=K3
    IF(IE.EQ.1) K1=1
    DO 700 K=1,K1
    KU=ABM(K,1)
    WR=WE*(1-SM)
2270C
    VOD(K,1)=0.5*(ABM(K,2)-ABM(K,5))
    VOD(K,2)=0.5*(ABM(K,3)+ABM(K,4))
    VOD(K,3)=0.5*(ABM(K,2)+ABM(K,5))
    VOD(K,4)=0.5*(ABM(K,3)-ABM(K,4))
2320C
    DO 700 J=1,3,2
    MP=1
    IF(J.EQ.3) MP=2
    EE(1)=VOD(K,J)
    EE(2)=VOD(K,J+1)
    KW=ABM(K,1)
    IF(J.EQ.3) KW=-ABM(K,1)
    F2=ABS(KW*WE-WR)/(2*PI)
    CALL RSPIMP(1,F2,N,0,BS,H,BC,RHO,
     &            Z1,Z2,Z3,Z4,Z5,Z6,Z7,Z8)
    CALL RSPIMP(1,.1,N,0,BS,H,BC,RHO,
     &            Z3,Z4,Z5,Z6,Z7,Z8,Z9,Z10)
    RFACT=RRAT*(Z1/Z3-1.0)+1.0
    XFACT=RRAT*(Z2*.1/(Z4*F2)-1.0)+1.0
    LR=(XLR*XFACT+XM)/WP
    RR=RRO*RFACT
    RROT(K,MP)=RR
    CALL SETA(KW)
    CALL MINF(F2,4,4,0.0001,HM,IER2)

Bilaga 4. Programlista PWMIND — del 2

Rekonstruktion, pass 1. Denna fil omfattar originalets bilaga 4.10–4.14 (PDF-sidorna 42–46), från rad 2500 till rad 5860 i programlistan.

Programtexten är återgiven i fast FORTRAN-format så långt skanningen medger. Punktmatrisskriften och några mycket täta uttryck gör vissa rader osäkra. Originalets radnumrering hoppar från 4870 till 5650; inga mellanliggande programrader finns på de avbildade sidorna.

Bilaga 4.10 — original sida 42

    DO 620 I=1,4
    SUM=0.0
2520C
    DO 630 J2=1,4
    SUM=SUM+H(I,J2)*EE(J2)
630 CONTINUE
2560C
    SI(I)=SUM
    IF(KB.NE.1) GOTO 632
    DO 631 J3=1,2
    U(K,MP,J3)=B(J3,I)*SI(I)+U(K,MP,J3)
631 CONTINUE
632 CONTINUE
620 CONTINUE
2640C     STRÖMMAR I Q&D-PLANET
2650C
    DO 700 I=1,4
    AI(K,MP,I)=SI(I)
700 CONTINUE
2690C
    IF(KB.NE.1) GOTO 702
    K1=K3
    IF(INYS.EQ.1) K1=1
    IF(IE.EQ.1) K1=1
    DO 701 K=1,K1
    UDA(K)=U(K,1,1)+U(K,2,1)
    UDG(K)=U(K,1,2)+U(K,2,2)
    UDA(K)=U(K,1,2)-U(K,2,2)
    UDG(K)=U(K,2,1)-U(K,1,1)
    DELTAU(K,1)=ABM(K,2)-UDA(K)
    DELTAU(K,2)=ABM(K,3)-UDG(K)
701 CONTINUE
702 CONTINUE
2830C
2840C
2850C     EFFEKTFÖRLUSTER I STATOR OCH ROTOR:
    PCU1=0
    PCU2=0
2880C
    K1=K3
    IF(INYS.EQ.1) K1=1
    IF(IE.EQ.1) K1=1
    DO 710 K=1,K1
    APCU1=RS*1.5*(AI(K,1,1)**2+AI(K,1,2)**2)
    BPCU1=RS*1.5*(AI(K,2,1)**2+AI(K,2,2)**2)
    EFF(K,1)=APCU1+BPCU1
    IF(IE.NE.1) GOTO 705
742 CONTINUE
    DENOM=(RRO/SM)**2+((XLR+XM)*FM0/FB)**2
    RH=RRO/SM*(XM*FM0/FB)**2/DENOM
    XH=((RRO/SM)**2*XM*FM0/FB+
     &       XLR*XM*(XLR+XM)*(FM0/FB)**3)/DENOM
    EQ=RES(1,1)*UM1*SQRT((RH**2+XH**2)/((RI+RS+RH)**2
   &  +(XL*FM0/FB+XLS*FM0/FB+XH)**2))
    IF(INYS.EQ.1) GOTO 748
    APK1=APK
    APK=APK*E1/EQ
    IF(ABS((EQ-E1)/E1).GT.0.004) GOTO 103
748 CONTINUE
    WRITE(6,713)EQ
713 FORMAT(1X,"EQ=",F13.3)

Bilaga 4.11 — original sida 43

    CPCU2=1.5*RROT(1,1)*(AI(1,1,3)**2+AI(1,1,4)**2)
    DPCU2=1.5*RROT(1,2)*(AI(1,2,3)**2+AI(1,2,4)**2)
    MOM1=P*(CPCU2+DPCU2)/SM/4/PI/FM0
    WRITE(6,712)MOM1
712 FORMAT(1X,"MOMENTET=",F13.3,"   ÖNSKAS NY ITERATION? 1=JA")
    IF(INYS.EQ.1) GOTO 405
    READ,INY
    IF(INY.NE.1) GOTO 704
    GOTO 390
704 IE=2
          APK=APK1
    GOTO 103
705 CONTINUE
    IF(INYS.EQ.1) GOTO 742
    INYS=2
    BPCU2=1.5*RROT(K,2)*(AI(K,2,3)**2+AI(K,2,4)**2)
    APCU2=1.5*RROT(K,1)*(AI(K,1,3)**2+AI(K,1,4)**2)
    EFF(K,2)=APCU2+BPCU2
3270C
    IT=ABM(K,1)
    WRITE(6,720)K,IT,EFF(K,1),EFF(K,2),RROT(K,1),RROT(K,2)
    PCU1=PCU1+EFF(K,1)
    PCU2=PCU2+EFF(K,2)
710 CONTINUE
    AIP1=SQRT(PCU1/(3*RS))
    PRINT,"COPY"
          READ,STRUNT
    WRITE(6,730)PCU1,PCU2,AIP1
720 FORMAT(1X,"K=",I2," F/F0=",I2," PCU1=",F7.1,
   &  " PCU2=",F7.1," R2+=",E10.3," R2-=",E10.3//)
730 FORMAT(1X,70(1H-),//,T10,"SUMMA PCU1=",E11.4," W",
   &  /T10,"SUMMA PCU2=",E11.4," W",
   &  /T10,"I1     =",E11.4," A",/70(1H-))
    IF(KB.NE.1) GOTO 737
    PRINT,"SPÄNNINGSFALL ÖVER REAKTORN"
    PRINT,"    Q-AXELN"
    PRINT,"    +COS(NWT)    +SIN(NWT)"
    DO 736 K=1,K1
    WRITE(6,734)DELTAU(K,1),DELTAU(K,2)
734 FORMAT(1X,2F12.4)
736 CONTINUE
737 CONTINUE
3500C     MOMENTBERÄKNINGAR
    AMVM=0
          AMOMA=-1E8
          AMOMI=1E8
    T=1/(FM0*MK)
    T1=T/50
    TI=0
          NTM=0
3550C
735 CONTINUE
    IF(TI.GT.T) GOTO 750
    IQST=0
          IDST=0
          IQRT=0
          IDRT=0
    DO 740 K=1,K1
    FI=ABM(K,1)*(WE*TI-PI/6.)
3610C     STATORSTRÖM:
    IQST=IQST+(AI(K,1,1)+AI(K,2,1))*COS(FI)
   &          +(AI(K,1,2)-AI(K,2,2))*SIN(FI)
    IDST=IDST+(AI(K,1,2)+AI(K,2,2))*COS(FI)
   &          -(AI(K,1,1)-AI(K,2,1))*SIN(FI)
3660C     ROTORSTRÖM:
    IQRT=IQRT+(AI(K,1,3)+AI(K,2,3))*COS(FI)
   &          +(AI(K,1,4)-AI(K,2,4))*SIN(FI)
    IDRT=IDRT+(AI(K,1,4)+AI(K,2,4))*COS(FI)

Bilaga 4.12 — original sida 44

   &          -(AI(K,1,3)-AI(K,2,3))*SIN(FI)
740 CONTINUE
3720C
    MOMT=M*0.75*P*(IQST*IDRT-IDST*IQRT)
    AMVM=AMVM+MOMT
    IF(MOMT.GT.AMOMA)AMOMA=MOMT
    IF(MOMT.LT.AMOMI)AMOMI=MOMT
    TI=TI+T1
    NTM=NTM+1
    GO TO 735
750 CONTINUE
    AMVM=AMVM/NTM
    AMVAR1=AMOMA-AMVM
    AMVAR2=AMOMI-AMVM
    WRITE(6,760)T,AMVM,AMVAR1,AMVAR2
760 FORMAT(1X,/70(1H-),/T10,"MOMENTET UNDER",E11.4," SEK. :",
   &  /T10,"MEDELVÄRDE:",E11.4," NM",
   &  /T10,"AMPLITUD  :",E11.4," NM",
   &  /T10,"AMPLITUD  :",E11.4," NM",/70(1H-))
3890C     ÖGONBLICKS­VÄRDEN: STRÖM, SPÄNNING OCH MOMENT
805 CONTINUE
    PRINT,"ÖNSKAS PLOT ELLER TABELL? 1=PLOT 2=TABELL"
    READ,LP
    PRINT,"GE TEXT TILL TABELL ELLER PLOT"
    READ,TEXT
    PRINT,"GE TIDSINTERVALL FÖR PLOT ELLER UTSKRIFT"
    PRINT,"T1<T<T2 MILLISEC. ; T1>=0"
    READ,T1,T
    T1=T1/1000
    T=T/1000
    PRINT,"GE ANTALET STEG I INTERVALLET"
    READ,STEG
    TD=(T-T1)/STEG
    IF(LP.EQ.2)GOTO 808
    PRINT,"GE AMPLITUDER FÖR SKALNING !"
    PRINT,"SPÄNNING (V),STATORSTRÖM (A), MOMENT (NM)"
    READ,UMAX,AIQSMAX,AMOMAX
    CALL PLOTS
    CALL ERASE
    WRITE(6,940)TEXT
    CALL FRAME(0.,0.,16.,14.,2)
    DX=(T-T1)/10.
    CALL AXIS(4.,1.,"TID (SEKUNDER) ",-15,10.,0.,T1,DX)
    DY1=2*UMAX/10.
    CALL AXIS(1.,1.,"SPÄNNING     (V)",15,10.,90.,-UMAX,DY1)
    DY2=2*AIQSMAX/10.
    CALL AXIS(2.,1.,"STATORSTRÖM (A)",15,10.,90.,-AIQSMAX,DY2)
    DY3=2*AMOMAX/10.
    CALL AXIS(3.,1.,"MOMENT      (NM)",15,10.,90.,-AMOMAX,DY3)
    CALL PLOT(4.,6.,23)
    GO TO 810
808 CONTINUE
    WRITE(6,930)TEXT
    WRITE(6,910)
4240C
810 CONTINUE
    IF(TI.GT.T)GO TO 905
    IQST=0
          IDST=0
          IQRT=0
          IDRT=0
          UDST=0
4280C
    DO 900 K=1,K1

Bilaga 4.13 — original sida 45

    FI=ABM(K,1)*(WE*TI-PI/6.)
    FI1=ABM(K,1)*WE*TI
4320C     STATORSTRÖM:
    IQST=IQST+(AI(K,1,1)+AI(K,2,1))*COS(FI)
   &          +(AI(K,1,2)-AI(K,2,2))*SIN(FI)
    IDST=IDST+(AI(K,1,2)+AI(K,2,2))*COS(FI)
   &          -(AI(K,1,1)-AI(K,2,1))*SIN(FI)
4370C     ROTORSTRÖM:
    IQRT=IQRT+(AI(K,1,3)+AI(K,2,3))*COS(FI)
   &          +(AI(K,1,4)-AI(K,2,4))*SIN(FI)
    IDRT=IDRT+(AI(K,1,4)+AI(K,2,4))*COS(FI)
   &          -(AI(K,1,3)-AI(K,2,3))*SIN(FI)
    UDST=UDST+ABM(K,4)*COS(FI1)+ABM(K,5)*SIN(FI1)
900 CONTINUE
4440C
    UDST=UDST*SQRT(3)
    MOMT=M*0.75*P*(IQST*IDRT-IDST*IQRT)
4470C     UTSKRIFT I TABELL
    IF(LP.EQ.2)GO TO 902
    CALL PLOT(TI/DX,UDST/DY1,3)
    CALL PLOT(TI/DX,UDST/DY1,2)
    CALL PLOT(TI/DX,IDST/DY2,3)
    CALL PLOT(TI/DX,IDST/DY2,2)
    CALL PLOT(TI/DX,MOMT/DY3,3)
    CALL PLOT(TI/DX,MOMT/DY3,2)
    GO TO 904
902 F10=WE*TI
    WRITE(6,920)TI*1000,F10,MOMT,UDST,IDST,IDRT
904 TI=TI+TD
    GO TO 810
905 CONTINUE
    IF(LP.EQ.2)GO TO 908
    CALL HDCOPY
    DO 906 NNM=1,5
906 CALL BELL
    READ,STRUNT
    CALL PLOT(0.,0.,23)
    CALL ERASE
    CALL ENDP
908 CONTINUE
    WRITE(6,530)
    PRINT,"ÖNSKAS NY UTSKRIFT (PLOT) ? 1=JA"
    READ,ISVAR
    IF(ISVAR.EQ.1)GO TO 805
910 FORMAT(1X,70(1H-),/T9,T15,"W0*T",T25,"M",T35,"U",
   &  T45,"I1",T55,"I2",//"(MS)",T11,"(RAD)",T25,"(NM)",
   &  T35,"(V)",T45,"(A)",T55,"(A)",/70(1H-))
920 FORMAT(1X,F8.3,T15,F6.4,T25,F7.2,T35,F7.1,T45,F7.1,T55,F7.1)
930 FORMAT(1X,70(1H-),/T10,A30)
940 FORMAT(1X,T20,A30)
1000 CONTINUE
    PRINT,"ÖNSKAS NY MASKINBERÄKNING? 1=JA"
    READ,MASKIN
    IF(MASKIN.EQ.1)GO TO 440
    PRINT,"ÖNSKAS NY KÖRNING? 1=JA"
    READ,ISLUT
    IF(ISLUT.EQ.1)GO TO 1
    STOP
          END

Bilaga 4.14 — original sida 46

    SUBROUTINE SETA(N)
    COMMON/LABEL2/RS,LS,M,LR,RR,WE,WR,A(4,4),RI,LI,B(4,4)
    REAL M,LS,LR,LI
5680C
    A(1,1)=RS+RI
    A(1,2)=N*WE*(LS+LI)
    A(1,3)=0.0
    A(1,4)=N*WE*M
    A(2,1)=-N*WE*(LS+LI)
    A(2,2)=RS+RI
    A(2,3)=-N*WE*M
    A(2,4)=0.0
    A(3,1)=0.0
    A(3,2)=(N*WE-WR)*M
    A(3,3)=RR
    A(3,4)=(N*WE-WR)*LR
    A(4,1)=-(N*WE-WR)*M
    A(4,2)=0.0
    A(4,3)=-(N*WE-WR)*LR
    A(4,4)=RR
    B(1,1)=RS
    B(1,2)=N*WE*LS
    B(2,1)=-N*WE*LS
    B(2,2)=RS
    DO 2 J=3,4
    DO 2 I=3,4
    B(I,J)=A(I,J)
  2 CONTINUE
    B(1,3)=A(1,3)
    B(1,4)=A(1,4)
    B(2,3)=A(2,3)
    B(2,4)=A(2,4)
    B(3,1)=A(3,1)
    B(3,2)=A(3,2)
    B(4,1)=A(4,1)
    B(4,2)=A(4,2)
    RETURN
    END

Bilaga 4. Körexempel

Rekonstruktion, pass 1. Denna fil omfattar originalets bilaga 4.15–4.18 (PDF-sidorna 47–50). Utskriften har transkriberats och delvis strukturerats i tabeller. Programfrågor och användarsvar har i huvudsak behållits i den form de förekommer i originalet.

W i programutskriften har nedan återgivits som $\omega$ där uttrycken har satts i LaTeX. Några av de minsta koefficienterna är svårlästa och bör kontrolleras mot originalet i pass 2.

1. Indata och inledande iterationer

GE ANTAL ARGUMENT (ALFA) SOM INTE=0
=0

GE ARGUMENTEN I GRADER
=0

ÖNSKAS SÄRSKILDA FREKVENSER? 1=JA
=2

GE HÖGSTA ÖNSKADE FREKVENS F/F0, F0=GRUNDTON
=53

GE PULSKVOT
=.67

GE (ANTALET PULSER PER PERIOD)/6.
=2

GE FASFÖRSKJUTNING I GRADER
=0

GE MINSTA AMPLITUD SOM SKALL ADDERAS
=1E-10

ÖNSKAS KONSTANT FLÖDE? 1=JA
=1

GE ÖNSKAT E-VÄRDE
=170

PULSKVOT=    0.6700

ÖNSKAS NY FOURIER-ANALYS? 1=JA
=2

NYA MASKINKONSTANTER? 1=JA
=1

ÖNSKAS MBK 280 S-6:S MASKINKONSTANTER? 1=JA
=1

ÖNSKAS S-ITERATION? 1=JA
=2

GE FM0, SM, UD/2
=30 .0525 244

SKALL SERIEREAKTOR INGÅ I BERÄKNINGARNA? 1=JA
=1

GE SERIEREAKTORDATA:R,L
=.006 .001

Den första beräknade grundtonen i q-axelns spänning skrivs ut som

\[u_q(t) = 0.013\cos(\omega t) - 207.098\sin(\omega t) +\cdots\]

Programmet ändrar därefter pulskvoten:

PULSKVOT=    0.6883

ÖNSKAS NY FOURIER-ANALYS? 1=JA
=2

NYA MASKINKONSTANTER? 1=JA
=2

ÖNSKAS S-ITERATION? 1=JA
=2

GE FM0, SM, UD/2
=30 .0525 244

SKALL SERIEREAKTOR INGÅ I BERÄKNINGARNA? 1=JA
=1

GE SERIEREAKTORDATA:R,L
=.006 .001

Den nya grundtonen blir

\[u_q(t) = 0.014\cos(\omega t) - 212.834\sin(\omega t) +\cdots\]

2. Resultat efter konstantflödesiteration

EQ=          170.059
MOMENTET=    703.524     ÖNSKAS NY ITERATION? 1=JA
=2
PULSKVOT=      0.6983

3. Resultat av Fourieranalys

$f/f_0$	Amplitud	Fasvinkel
1	0.87227	3.14153
5	0.15005	3.14153
7	0.07989	3.14153
11	0.23409	0
13	0.42800	3.14153
17	0.15094	3.14153
19	0.13659	3.14153
23	0.25953	3.14153
25	0.12437	0
29	0.01231	3.14153
31	0.01661	3.14153
35	0.00326	0.00002
37	0.05062	3.14153
41	0.02451	3.14153
43	0.01841	3.14153
47	0.04002	0.00000
49	0.10166	3.14153
53	0.04665	3.14153

Därefter används samma maskin- och reaktordata:

ÖNSKAS NY FOURIER-ANALYS? 1=JA
=2

NYA MASKINKONSTANTER? 1=JA
=2

ÖNSKAS S-ITERATION? 1=JA
=2

GE FM0, SM, UD/2
=30 .0525 244

SKALL SERIEREAKTOR INGÅ I BERÄKNINGARNA? 1=JA
=1

GE SERIEREAKTORDATA:R,L
=.006 .001

4. Spänning i q-axeln

Programutskriften motsvarar följande Fourierserie:

\[\begin{aligned} u_q(t) ={}& 0.014\cos(\omega t) -212.834\sin(\omega t) \\ &+0.002\cos(5\omega t) -36.611\sin(5\omega t) \\ &+0.001\cos(7\omega t) -19.492\sin(7\omega t) \\ &+0.000\cos(11\omega t) +57.119\sin(11\omega t) \\ &+0.007\cos(13\omega t) -104.432\sin(13\omega t) \\ &+0.002\cos(17\omega t) -36.828\sin(17\omega t) \\ &+0.002\cos(19\omega t) -33.329\sin(19\omega t) \\ &+0.004\cos(23\omega t) -63.326\sin(23\omega t) \\ &+0.000\cos(25\omega t) +30.346\sin(25\omega t) \\ &+0.000\cos(29\omega t) -3.004\sin(29\omega t) \\ &+0.000\cos(31\omega t) -4.053\sin(31\omega t) \\ &+0.000\cos(35\omega t) +0.726\sin(35\omega t) \\ &+0.001\cos(37\omega t) -12.351\sin(37\omega t) \\ &+0.000\cos(41\omega t) -5.980\sin(41\omega t) \\ &+0.000\cos(43\omega t) -4.491\sin(43\omega t) \\ &+0.000\cos(47\omega t) +9.764\sin(47\omega t) \\ &+0.002\cos(49\omega t) -24.804\sin(49\omega t) \\ &+0.001\cos(53\omega t) -11.432\sin(53\omega t). \end{aligned}\]

5. Kopparförluster och rotorresistanser

$K$	$f/f_0$	$P_{\mathrm{CU1}}$	$P_{\mathrm{CU2}}$	$R_2^+$	$R_2^-$
1	1	2745.5	2320.7	$0.510\times10^{-1}$	$0.811\times10^{-1}$
2	5	27.5	72.8	$0.114\times10^{0}$	$0.135\times10^{0}$
3	7	4.0	10.6	$0.136\times10^{0}$	$0.153\times10^{0}$
4	11	14.4	52.0	$0.169\times10^{0}$	$0.183\times10^{0}$
5	13	34.4	125.1	$0.184\times10^{0}$	$0.196\times10^{0}$
6	17	2.5	11.1	$0.209\times10^{0}$	$0.220\times10^{0}$
7	19	1.7	7.3	$0.221\times10^{0}$	$0.232\times10^{0}$
8	23	4.1	20.7	$0.243\times10^{0}$	$0.252\times10^{0}$
9	25	0.8	4.0	$0.253\times10^{0}$	$0.262\times10^{0}$
10	29	0.0	0.0	$0.271\times10^{0}$	$0.280\times10^{0}$
11	31	0.0	0.1	$0.280\times10^{0}$	$0.289\times10^{0}$
12	35	0.0	0.0	$0.297\times10^{0}$	$0.305\times10^{0}$
13	37	0.1	0.4	$0.306\times10^{0}$	$0.313\times10^{0}$
14	41	0.0	0.1	$0.321\times10^{0}$	$0.329\times10^{0}$
15	43	0.0	0.0	$0.329\times10^{0}$	$0.336\times10^{0}$
16	47	0.0	0.2	$0.343\times10^{0}$	$0.350\times10^{0}$
17	49	0.1	1.0	$0.351\times10^{0}$	$0.357\times10^{0}$
18	53	0.0	0.2	$0.364\times10^{0}$	$0.371\times10^{0}$

Sammanfattningen i programutskriften är:

\[\sum P_{\mathrm{CU1}} = 0.2835\times10^4\ \mathrm{W},\] \[\sum P_{\mathrm{CU2}} = 0.2626\times10^4\ \mathrm{W},\]

och

\[I_1 = 0.1403\times10^3\ \mathrm{A}.\]

6. Spänningsfall över reaktorn

För q-axeln skrivs cosinus- och sinuskoefficienterna ut enligt följande:

Harmonisk term	$\cos(n\omega t)$	$\sin(n\omega t)$
1	-27.1578	-24.8731
5	1.4653	-18.3514
7	-0.7123	-9.7876
11	-1.4651	29.2392
13	-2.5807	-53.4793
17	0.7417	-19.0144
19	-0.6551	-17.2107
23	1.0782	-32.9578
25	0.5085	15.7472
29	0.0450	-1.5637
31	-0.0598	-2.1099
35	-0.0107	0.4157
37	-0.1648	-6.4462
41	0.0742	-3.1267
43	-0.0550	-2.3483
47	-0.1121	5.1130
49	-0.2825	-12.9992
53	0.1234	-5.9942

7. Moment

MOMENTET UNDER 0.1667E-01 SEK. :

MEDELVÄRDE:  0.7034E 03 NM
AMPLITUD  :  0.1465E 03 NM
AMPLITUD  : -0.1188E 03 NM

Detta motsvarar ungefär ett medelmoment på $703.4\ \mathrm{Nm}$, med avvikelser uppåt och nedåt på cirka $146.5\ \mathrm{Nm}$ respektive $-118.8\ \mathrm{Nm}$.

8. Tabell över moment, spänning och ström

ÖNSKAS PLOT ELLER TABELL? 1=PLOT 2=TABELL
=2

GE TEXT TILL TABELL ELLER PLOT
=

GE TIDSINTERVALL FÖR PLOT ELLER UTSKRIFT
T1<T<T2 MILLISEC. ; T1>=0
=0 17

GE ANTALET STEG I INTERVALLET
=6

$t$ (ms)	$\omega_0 t$ (rad)	$M$ (Nm)	$U$ (V)	$I_1$ (A)	$I_2$ (A)
0.000	0.0000	741.03	-512.6	-41.9	92.2
2.833	0.5341	761.89	-533.3	-160.1	176.1
5.667	1.0681	726.10	-84.8	-208.3	185.2
8.500	1.6022	807.88	0.4	-204.5	149.4
11.333	2.1363	709.90	499.2	-157.2	64.5
14.167	2.6704	836.44	435.1	-19.2	-49.5
17.000	3.2044	694.67	459.9	50.8	-97.8

ÖNSKAS NY UTSKRIFT (PLOT)? 1=JA
=2

ÖNSKAS NY MASKINBERÄKNING? 1=JA
=2

ÖNSKAS NY KÖRNING? 1=JA
=2

Bilaga 5. Beräkning av induktorstorlek

Rekonstruktion, pass 1. Denna fil omfattar originalets bilaga 5.1-5.5 (PDF-sidorna 51-55). Text och beräkningar har transkriberats från den skannade kopian. De tre avslutande diagrammen har, enligt projektets principer, utelämnats och ersatts med korta figurplatshållare.

Originalet använder i flera formler ett cgs-baserat enhetssystem: $\hat B$ anges i gauss, $A_{\mathrm{fe}}$ i $\mathrm{cm}^2$ och luftgapet $\Delta$ i cm.

1. Allmänt

För att närmare studera de fysiska dimensionerna hos en induktor har vikt och volym beräknats för en luftkyld induktor med varierande induktans.

En trefasinduktor har följande utseende:

Figur. Principskiss av en trefasinduktor. Originalfiguren är utelämnad.

Beteckningar i originalfiguren:

$\sum \delta = \Delta$: sammanlagt luftgap

$N$: varv per fas

$a$: antal lindningslager

kärnans djup: $\sqrt{A_{\mathrm{fe}}}$

$B$: kärnans bredd

$H$: kärnans höjd

Luftgapen delas upp i flera delgap för att begränsa läckflöden.

2. Beräkningsgång

Den i lindningen inducerade spänningen blir

\[e=\frac{d\Psi}{dt} \quad\Longrightarrow\quad \bar E=j\omega\Psi, \qquad E=\omega\Psi.\]

Vidare gäller

\[\Psi=N\Phi=NB A_{\mathrm{fe}},\]

och således

\[E=2\pi B A_{\mathrm{fe}}Nf.\]

Med $\hat B$ uttryckt i gauss och $A_{\mathrm{fe}}$ i $\mathrm{cm}^2$ erhålls

\[E = \sqrt{2}\,\pi\,10^{-8} \hat B A_{\mathrm{fe}}Nf \qquad (\mathrm{cgs}).\]

Dessutom gäller

\[\oint H\,ds=NI,\]

vilket för järnvägen och luftgapet skrivs

\[H_{\Delta}\Delta+H_j\ell=NI.\]

Med

\[H_{\Delta}=\frac{B}{\mu_0}, \qquad H_j=\frac{B}{\mu\mu_0},\]

fås

\[\frac{B}{\mu_0}\Delta + \frac{B}{\mu\mu_0}\ell = NI.\]

Luftgapsreluktansen antas dominera, varför

\[I=\frac{1}{\mu_0}\frac{B\Delta}{N}.\]

För effektivvärdet av strömmen och toppvärdet $\hat B$ blir detta

\[I = \frac{1}{\mu_0} \frac{\hat B\Delta}{N\sqrt{2}} 10^{-6} \qquad (\mathrm{cgs}),\]

och därmed

\[\Delta = \frac{\mu_0\sqrt{2}\,10^6IN}{\hat B} = \frac{0.4\pi\sqrt{2}\,IN}{\hat B} \qquad (\mathrm{cgs}).\]

Reaktansen blir

\[X = \frac{E}{I} = \frac{\sqrt{2}\,\pi\,10^{-8}\hat B f}{I} \,N A_{\mathrm{fe}} \qquad (\mathrm{cgs}).\]

Om induktorn beräknas för maskinen MBK 280 S-6 krävs

\[I=160\ \mathrm{A}.\]

Sätts detta in tillsammans med värden på maximal ström- och flödestäthet fås

\[\hat B=12\,000\ \mathrm{gauss}, \qquad S_{\max}=1.9\ \mathrm{A/mm^2}.\]

Därmed erhålls

\[X = 1.66\cdot10^{-4} N A_{\mathrm{fe}} \qquad (\mathrm{cgs}),\]

samt

\[\Delta = 2.37\cdot10^{-2}N.\]

Här är $X$ uttryckt i ohm och $\Delta$ i cm när $A_{\mathrm{fe}}$ anges i $\mathrm{cm}^2$.

3. Kopparvikter

Vid strömtätheten

\[S=1.9\ \mathrm{A/mm^2}\]

krävs koppararean

\[A_{\mathrm{cu}} = \frac{160}{1.9} \approx 84\ \mathrm{mm^2} = 6\cdot14\ \mathrm{mm^2}.\]

Ledaren antas därför ha måtten

\[b=6\ \mathrm{mm}, \qquad h=14\ \mathrm{mm},\]

och koppardensiteten sätts till

\[\rho_{\mathrm{cu}}=7900\ \mathrm{kg/m^3}.\]

Kopparvikten för de tre faserna blir

\[m_{\mathrm{cu}} = 3N A_{\mathrm{cu}}\ell\rho_{\mathrm{cu}},\]

där lindningslängden per varv approximeras som

\[\ell = 4\left(\sqrt{A_{\mathrm{fe}}}+0.3a\right).\]

Insättning ger

\[\begin{aligned} m_{\mathrm{cu}} &= 3A_{\mathrm{cu}}\rho_{\mathrm{cu}} \,4\left(\sqrt{A_{\mathrm{fe}}}+0.3a\right)N \\ &= 0.0897 \left(\sqrt{A_{\mathrm{fe}}}+0.3a\right)N, \end{aligned}\]

där $A_{\mathrm{fe}}$ anges i $\mathrm{cm}^2$ och massan i kg.

4. Järnvikter

Benen

Järnvikten i de tre benen skrivs

\[m_{\mathrm{feb}} = 3A_{\mathrm{fe}}H\rho_{\mathrm{fe}},\]

där

\[H=\frac{Nh}{a}+0.04.\]

Med $\rho_{\mathrm{fe}}=7900\ \mathrm{kg/m^3}$ och $h=14\ \mathrm{mm}$ erhålls

\[\begin{aligned} m_{\mathrm{feb}} &= 3\rho_{\mathrm{fe}} \left(\frac{Nh}{a}+0.04\right) A_{\mathrm{fe}} \\ &= 3\cdot7900\cdot10^{-6} \left(\frac{Nh}{a}+4\right) A_{\mathrm{fe}} \\ &= 0.0237 \left(1.4\frac{N}{a}+4\right) A_{\mathrm{fe}}. \end{aligned}\]

Här anges $A_{\mathrm{fe}}$ i $\mathrm{cm}^2$ och massan i kg.

Oken

Järnvikten i de två oken skrivs

\[m_{\mathrm{feo}} = 2A_{\mathrm{fe}}B\rho_{\mathrm{fe}},\]

där kärnans bredd approximeras som

\[B = 3\sqrt{A_{\mathrm{fe}}} + 4\cdot1.2\,a b + 2\cdot0.03.\]

Detta ger

\[\begin{aligned} m_{\mathrm{feo}} &= 2\rho_{\mathrm{fe}} \left( 3\sqrt{A_{\mathrm{fe}}} + 4.8ab + 0.06 \right) A_{\mathrm{fe}} \\ &= 2\cdot7900\cdot10^{-6} \left( 3\sqrt{A_{\mathrm{fe}}} + 2.88a + 6 \right) A_{\mathrm{fe}} \\ &= 0.0158 \left( 3\sqrt{A_{\mathrm{fe}}} + 2.88a + 6 \right) A_{\mathrm{fe}}. \end{aligned}\]

Även här anges $A_{\mathrm{fe}}$ i $\mathrm{cm}^2$ och massan i kg.

5. Sammanfattning

De använda uttrycken kan sammanfattas som

\[X = \frac{\sqrt{2}\,\pi\,10^{-8}\hat B f}{I} \,N A_{\mathrm{fe}} = 1.66\cdot10^{-4} N A_{\mathrm{fe}} \quad [\Omega],\] \[\Delta = \frac{\mu_0\sqrt{2}\,10^6 I}{\hat B}N = 2.37\cdot10^{-2}N \quad [\mathrm{cm}],\] \[m_{\mathrm{cu}} = 0.0897 \left( \sqrt{A_{\mathrm{fe}}}+0.3a \right)N,\] \[m_{\mathrm{feb}} = 0.0237 \left( 1.4\frac{N}{a}+4 \right) A_{\mathrm{fe}},\]

och

\[m_{\mathrm{feo}} = 0.0158 \left( 3\sqrt{A_{\mathrm{fe}}}+2.88a+6 \right) A_{\mathrm{fe}}.\]

Görs beräkningar för tre olika induktorer, 0.5, 1.0 och 2.0 mH, erhålls de tre diagrammen i figur 1-3. I dessa har induktorns vikt beräknats med benarean och antalet lager i lindningarna som fria variabler.

Figur 1. Serieinduktorns vikt som funktion av benarean $A_{\mathrm{fe}}$ för $L=0.5\ \mathrm{mH}$ och olika antal lindningslager. Originaldiagrammet är utelämnat.

Figur 2. Serieinduktorns vikt som funktion av benarean $A_{\mathrm{fe}}$ för $L=1.0\ \mathrm{mH}$ och olika antal lindningslager. Originaldiagrammet är utelämnat.

Figur 3. Serieinduktorns vikt som funktion av benarean $A_{\mathrm{fe}}$ för $L=2.0\ \mathrm{mH}$ och olika antal lindningslager. Originaldiagrammet är utelämnat.

Bilaga 7. Variabelförteckning

Rekonstruktion, pass 1. Denna fil omfattar originalets bilaga 7.1–7.2 (PDF-sidorna 58–59). Variablerna har återgivits i LaTeX och ordnats i en Markdown-tabell. Originalets svenska beskrivningar har behållits.

Symbolen $\mathrm{ö}$ i ett index betecknar överton. Den handskrivna definitionen av $Z_2$ har tolkats som parallellkopplingen mellan magnetiseringsreaktansen och rotorns ekvivalenta gren.

Variabler A–V

Symbol	Betydelse
$a$	antal faser
$B$	flödestäthet
$B_{\max}$	maximal flödestäthet
$d$	inträngningsdjup
$E$	flödesspänning
$e$	flödesspänningens momentvärde
$f$	frekvens
$I_1$	statorström
$I_2$	rotorström
$I_{11}$	grundtonsstatorström
$I_{1\mathrm{ö}}$	övertonsstatorström
$I_{2\mathrm{ö}}$	övertonsrotorström
$k_h$	proportionalitetsfaktor
$k_v$	proportionalitetsfaktor
$L$	induktorns induktans
$L_1$	statorinduktans
$L_2$	rotorinduktans
$L_m$	magnetiseringsinduktans
$M$	moment
$m$	pulskvot
$M_n$	märkmoment
$M_p$	pulsationsmoment
$M(\theta)$	modulationssignal
$M_i$	Fourierkoefficient för $M(\theta)$
$N$	antal modulationspulser
$N_1$	primärt lindningsvarv
$N_2$	sekundärt lindningsvarv
$P_{\mathrm{cu}}$	kopparförluster
$P_{\mathrm{cuö}}$	övertonskopparförluster
$P_{\mathrm{fe}}$	järnförluster
$P_{\mathrm{feö}}$	övertonsjärnförluster
$P_h$	hysteresförluster
$P_v$	virvelströmsförluster
$R$	induktorns resistans
$R_1$	statorresistans
$R_2$	rotorresistans
$R(\varphi)$	referenssignal
$R_n$	Fourierkoefficient för $R(\varphi)$
$s$	eftersläpning
$U$	motorklämspänning
$U_1$	grundton av $U$

Variabler U–$\omega$

Symbol	Betydelse
$U_{\mathrm{ö}}$	övertoner av $U$
$V$	omriktarklämspänning
$V_1$	grundton av $V$
$V_{\mathrm{ö}}$	övertoner av $V$
$Z_2$	$jX_m \parallel \left(\dfrac{R_2}{s}+jX_2\right)$
$\alpha_i$	hackvinklar
$\beta$	vinkel mellan q-axeln och rotorns r-axel
$\gamma$	$U$, $I$ eller $\Psi$
$\theta$	vinkel mellan q-axeln och statorns r-axel
$\theta_0$	fasförskjutning
$\theta_r$	$\theta-\beta$
$\lambda$	exponentkonstant vid hysteresförluster
$\xi$	nedstämpling
$\sigma$	konduktivitet
$\Phi$	flöde
$\varphi$	vinkel, $\varphi=\omega t$
$\Psi$	sammanlänkat flöde
$\omega$	synkron vinkelhastighet
$\omega_e$	elektrisk vinkelhastighet
$\omega_r$	vinkelhastighet hos rotor