Nota de traducción. Esta es una traducción fiel del documento maestro en sueco. Las ecuaciones, los valores numéricos, los listados de código fuente, las notas de reconstrucción y los puntos de comprobación de la pasada 2 se han conservado sin correcciones técnicas.
TESIS DE MAESTRÍA EN CONVERSIÓN DE POTENCIA ELÉCTRICA
Estudio de las pérdidas armónicas en una máquina de inducción conectada en serie con un inductor. 🇪🇸
Supervisor: Tom Porteous
Presentada: 1979-11-27
Estado: Aprobada
Resumen
Esta tesis de maestría se realizó en el Laboratorio de Alta Potencia del Departamento Central de Desarrollo de ASEA en Västerås. El supervisor fue Tom Porteous.
El objetivo del trabajo fue estudiar el efecto de un inductor en serie sobre las condiciones de funcionamiento de una máquina de inducción alimentada por inversor, tanto en lo referente a la reducción de su capacidad nominal como a las pulsaciones de par, y, de ser posible, identificar una combinación óptima de motor e inductor.
Los cálculos se efectuaron mediante programas informáticos aplicados a un motor estándar de ASEA, MBK 280 S-6, de 75 kW de potencia nominal. A estos cálculos se añadieron datos de ensayos de laboratorio relativos a las pérdidas en el hierro. Los resultados se utilizaron después para evaluar las reducciones de pérdidas que podían obtenerse con inductores de distintos tamaños. En esta evaluación también se tuvieron en cuenta las dimensiones físicas del inductor.
La tesis muestra que, cuando el espacio disponible para el motor es limitado, no existe razón alguna, desde el punto de vista de las pérdidas, para introducir un inductor en serie en el sistema, porque el peso combinado del motor y el inductor permanece prácticamente constante.
Cuando no existe restricción de espacio para el motor, los resultados muestran, sin embargo, que un inductor en serie puede utilizarse ventajosamente hasta una frecuencia límite propia de cada inductor, con el fin de reducir la pérdida de capacidad nominal de par. Una vez superada esa frecuencia límite, el inductor debe desconectarse. Esto minimiza la reducción nominal a frecuencias altas, pero aumenta las pulsaciones de par.
Índice
1. $~$ Introducción
$\quad$ 1.1 $~$ Generalidades
$\quad$ 1.2 $~$ Alimentación
$\quad$ 1.3 $~$ Desventajas de la alimentación PWM
$\quad$ 1.4 $~$ Medidas correctivas
$\quad$ 1.5 $~$ Métodos
2. $~$ Pérdidas en el hierro
$\quad$ 2.1 $~$ Generalidades
$\quad$ 2.2 $~$ Dificultades para determinar analíticamente las pérdidas en el hierro
$\quad$ 2.3 $~$ Método
$\quad$ 2.4 $~$ Funcionamiento en vacío sin inductor en serie
$\quad$ 2.5 $~$ Funcionamiento en vacío con inductor en serie
$\quad$ 2.6 $~$ Análisis
3. $~$ El motor bajo carga
$\quad$ 3.1 $~$ Generalidades
$\quad$ 3.2 $~$ Carga sin inductor en serie
$\quad$ 3.3 $~$ Dependencia de las pérdidas respecto de la inductancia
$\quad$ 3.4 $~$ Dependencia de las pérdidas respecto de la frecuencia
$\quad$ 3.5 $~$ Pulsaciones de par
$\quad$ 3.6 $~$ Cálculo de pesos
4. $~$ Discusión
$\quad$ 4.1 $~$ Posibilidades y limitaciones del procedimiento
$\quad$ 4.2 $~$ Tamaño del inductor sin restricción de espacio para el motor
$\quad$ 4.3 $~$ Tamaño del inductor con espacio limitado para el motor
5. $~$ Referencias
Apéndices
B1. $~$ Diagramas
B2. $~$ Forma de onda de la tensión de alimentación y análisis de Fourier
B3. $~$ Modelo de cálculo
B4. $~$ Descripción del programa PWMIND
B5. $~$ Cálculo del tamaño del inductor
B8. $~$ Datos tipo
B7. $~$ Lista de variables
1. Introducción
1.1 Generalidades
En los últimos años ha surgido un nuevo tipo de accionamiento de motores que ha despertado considerable interés entre los fabricantes. En aplicaciones de tracción, entre otras, las máquinas de inducción alimentadas por inversor han comenzado a competir seriamente con los motores de corriente continua alimentados por rectificadores de tiristores. Las ventajas son numerosas: por ejemplo, el motor de inducción es considerablemente más robusto que el motor de corriente continua, requiere mucho menos mantenimiento y funciona mejor en entornos severos. Además, con frecuencia pueden utilizarse motores estándar, lo que reduce los precios y simplifica el servicio. A medida que han bajado los precios de los tiristores y de su electrónica auxiliar, la alternativa constituida por un inversor y un motor de inducción se ha vuelto, por tanto, cada vez más competitiva.
1.2 Alimentación
Un motor de inducción puede alimentarse a frecuencia variable mediante convertidores de fuente de tensión o de fuente de corriente. En este caso se ha utilizado un inversor de fuente de tensión.
Este rectifica la tensión alterna de la red de alimentación y la convierte en una tensión constante $U_d$ en el enlace de CC (Figura 1). A continuación se obtiene una tensión alterna troceando la tensión del enlace de CC en el puente de tiristores y multiplicándola por una tensión de modulación para obtener frecuencia y amplitud variables (véase el Apéndice 2).
A bajas frecuencias, el troceado se realiza de manera que se modifica la distribución de armónicos y se suprimen los armónicos quinto y séptimo, lo que proporciona ciertas ventajas de funcionamiento (véase la Sección 3). Por consiguiente, las tensiones de referencia y de modulación pueden adoptar la forma mostrada en la Figura 2.
De este modo se obtiene una tensión alterna de frecuencia y amplitud arbitrarias. La amplitud máxima de la componente fundamental se obtiene cuando la tensión de modulación es constante, es decir, cuando se deja pasar toda la señal de referencia, y está limitada por la tensión del enlace de CC.
Este tipo de alimentación se denomina alimentación PWM (modulación por ancho de pulsos), porque la magnitud de la tensión fundamental viene determinada por la anchura de los pulsos de modulación y no por la amplitud de la señal de referencia.
Al variar la frecuencia del inversor entre 0 y 50 Hz, se atraviesan varios modos de funcionamiento (véase el Apéndice 6). A frecuencias predeterminadas, se modifica la forma de onda de la tensión de alimentación para mantener una alimentación óptima. Se introducen muescas en la tensión de referencia con el fin de suprimir los armónicos de bajo orden a bajas frecuencias, y se modifica la frecuencia de la tensión de modulación para que sea un múltiplo de seis veces la frecuencia de la señal de referencia.
1.3 Desventajas de la alimentación PWM
La etapa inversora suministra al motor una tensión esencialmente rectangular. Esto genera armónicos que, a su vez, producen pérdidas adicionales en el rotor y el estator —tanto en el hierro como en el cobre— sin aportar par adicional. Como consecuencia, la capacidad nominal del motor debe reducirse con respecto al funcionamiento con una alimentación sinusoidal convencional.
Otro problema es que el elevado contenido armónico produce pulsaciones indeseables alrededor del par de carga, que pueden ser considerables, sobre todo a bajas frecuencias. En aplicaciones de tracción, por ejemplo, las pulsaciones de par pueden provocar el deslizamiento de las ruedas durante el arranque.
También pueden crear un par negativo que se transmite a través del motor a los acoplamientos mecánicos del sistema. Las tensiones mecánicas resultantes son grandes y se consideran muy graves.
Por esta razón se introducen muescas en la tensión de alimentación para suprimir los armónicos quinto y séptimo y eliminar las pulsaciones más grandes. Debe observarse, sin embargo, que esto simplemente redistribuye los armónicos: las amplitudes de los armónicos de orden superior aumentan cuando disminuyen las tensiones correspondientes al quinto y al séptimo armónico. Otro problema es que la forma de onda de la tensión de alimentación hace que el motor sea extremadamente ruidoso.
1.4 Medidas correctivas
Además de la redistribución de armónicos descrita anteriormente, un método para reducir el contenido armónico en el motor consiste en filtrar la tensión de alimentación. Por ello se inserta un inductor en serie en cada una de las tres fases entre el inversor y el motor, lo que reduce las amplitudes armónicas con respecto a la fundamental. Este es el tema estudiado en el presente informe.
1.5 Métodos
Para determinar la magnitud de las pérdidas y de las pulsaciones, se ha aplicado un análisis de Fourier a la tensión de alimentación (véase el Apéndice 2). Al aplicarlo al modelo convencional de la máquina (Figura 3) y tener en cuenta el fenómeno de desplazamiento de corriente en el rotor, se obtiene la contribución de cada armónico a las pérdidas en el cobre y la pulsación total de par alrededor del par de carga.
Estas teorías se incorporan al programa informático PWMIND (modulación por ancho de pulsos con inductor; véase el Apéndice 4). A los resultados obtenidos con el programa se añadieron estimaciones de las pérdidas en el hierro.
Todo ello, aplicado a un motor estándar de ASEA (MBK 280 S-6, n.º 7125 824) con refrigeración forzada y utilizado conjuntamente con un inductor en serie, sirvió de base para evaluar qué inductor podía considerarse, por razones eléctricas, mecánicas y físicas, la mejor solución al problema, aunque no fuera estrictamente óptima. Estas conclusiones se establecen para el motor estándar considerado, pero también pueden aplicarse a otras combinaciones de motor e inductor.
2. Pérdidas en el hierro
2.1 Generalidades
La reducción de la capacidad nominal del motor se obtiene determinando sus pérdidas totales. En lo sucesivo, por pérdidas totales se entiende la suma de las pérdidas en el cobre y en el hierro; no se incluyen las pérdidas por fricción ni las pérdidas adicionales bajo carga. Por tanto, las pérdidas en el hierro se determinan primero mediante ensayos en vacío. Después se suman a las pérdidas en el cobre obtenidas bajo carga y se calcula la reducción de capacidad nominal (véase El motor bajo carga).
2.2 Dificultades para determinar analíticamente las pérdidas en el hierro
El cálculo analítico de las pérdidas en el hierro puede ser difícil. Las pérdidas se dividen en dos componentes: pérdidas por histéresis y pérdidas por corrientes parásitas. Por tanto:
\[P_{fe} = P_v + P_h\] \[P_h = k_h f B_{\max}^{\lambda} \qquad 1 < \lambda < 3\] \[P_v = k_v \sigma d^2 f^2 B^2\](Lista de variables en el Apéndice 7.)
Dado que se desconoce la relación entre $P_v$ y $P_h$, no se conoce la dependencia respecto de la frecuencia y la tensión de las variables implicadas y no puede aplicarse el principio de superposición, resulta evidente que el cálculo de las pérdidas en el hierro presenta ciertas dificultades.
2.3 Método
Un método alternativo consiste en medir las pérdidas en vacío que se producen a distintas frecuencias y restarles los valores de pérdidas en el cobre calculados a partir del modelo de la máquina cuando esta funciona en vacío con respecto a la componente fundamental —mientras que los armónicos funcionan simultáneamente con un deslizamiento igual a uno—. Se postula entonces que las pérdidas restantes son pérdidas en el hierro. Este método proporciona al menos un límite superior absoluto para la magnitud de dichas pérdidas.
2.4 Funcionamiento en vacío sin inductor en serie
Las pérdidas totales —en el hierro y en el cobre— se midieron en un motor estándar de ASEA, MBK 280 S-6, con refrigeración forzada, tanto con alimentación PWM como con alimentación sinusoidal. A continuación, se restaron de las pérdidas totales las pérdidas en el cobre calculadas mediante el programa informático PWMIND, obteniéndose así las pérdidas restantes en el hierro. En el Apéndice 1.1 se representan, en función de la frecuencia, tanto las pérdidas totales en vacío con alimentación PWM como las pérdidas calculadas en el hierro con alimentación PWM y sinusoidal. La línea discontinua correspondiente a las pérdidas PWM en el hierro debe considerarse una tendencia. En estas mediciones y cálculos, el flujo fundamental fue el mismo con funcionamiento PWM y sinusoidal.
Los saltos bruscos de las pérdidas totales y de las pérdidas PWM en el hierro se deben a los cambios de modo de funcionamiento introducidos en diez frecuencias (véanse la Introducción y el Apéndice 6) para reducir las pérdidas. El hecho de que las pérdidas en el cobre en vacío asciendan a casi el cincuenta por ciento de las pérdidas totales con alimentación PWM se debe a las pérdidas adicionales producidas por los armónicos. Por consiguiente, las pérdidas en vacío no pueden tratarse como pérdidas en el hierro.
Los armónicos también explican por qué, dentro de un mismo modo de funcionamiento, las pérdidas a bajas frecuencias pueden ser mayores que a una frecuencia superior: el contenido armónico relativo —la relación entre la amplitud armónica y la amplitud de la fundamental— es mayor.
A fin de disponer de una base de comparación, las pérdidas en el hierro con alimentación sinusoidal se determinaron de la misma manera —pérdida total menos pérdida en el cobre—. La comparación muestra que las pérdidas PWM en el hierro son considerablemente mayores que las pérdidas sinusoidales, nuevamente debido a los armónicos. En este caso se concluye que las pérdidas PWM en el hierro superan a las de la alimentación sinusoidal en un término aproximadamente constante de alrededor de 1 kW. En consecuencia, especialmente a frecuencias bajas, el aumento relativo de las pérdidas en el hierro es muy grande.
2.5 Funcionamiento en vacío con un inductor
Tras estudiar las relaciones entre las pérdidas en vacío con alimentación PWM y sinusoidal, se introduce un inductor en serie en el circuito, como se muestra en la Figura 3. Dado que la impedancia del motor está dominada por la reactancia, el inductor no actuará como un filtro pasa bajos de primer orden, sino como un elemento de un divisor de tensión. Atenúa las amplitudes armónicas y mejora así sustancialmente la forma de onda de la tensión en los bornes del motor ($U$). Esta mejora de la forma de onda reduce las pérdidas armónicas —tanto en el cobre como en el hierro—, como muestran los Apéndices 1.1–1.3, que presentan las pérdidas totales y en el hierro en vacío, en función de la frecuencia, para distintas inductancias.
La proporción de pérdidas en el cobre dentro de las pérdidas totales en vacío disminuye sustancialmente al aumentar el tamaño del inductor, pero sigue alcanzando la mitad de la pérdida total con 0.21 p.u. (1 mH) y 10 Hz. (Los valores por unidad se refieren a la tensión nominal y a la corriente nominal del motor; la impedancia base corresponde entonces a $Z_B$ = 1.47 mH y la inductancia base es $L_B$ = 4.67 mH, según el Apéndice 6; la reactancia de cortocircuito es aproximadamente 0.25 p.u.) Aquí se ha tenido en cuenta la caída de la tensión fundamental en el inductor y se ha introducido un término de corrección entre las distintas curvas para que las tres sean plenamente comparables; esto también se aplica a la curva con alimentación sinusoidal.
2.6 Análisis
Por tanto, es difícil determinar analíticamente las pérdidas en el hierro, pero el problema puede limitarse a derivar las curvas con inductor (Apéndices 1.2–1.3) a partir de la curva sin inductor en serie (Apéndice 1.1). El examen del circuito equivalente para los distintos armónicos muestra que, en vacío, el deslizamiento es aproximadamente cero para la componente fundamental.
Esto hace que la resistencia del rotor sea muy grande, y la única corriente fundamental que circula es la corriente magnetizante. Si se desprecia la resistencia del estator, la corriente fundamental en el lado del estator es:
\[I_{11} = \frac{V_1-E_1}{X_1+X}\] \[E_1 = X_m I_{11}\] \[I_{11} = \frac{V_1}{X_1+X_m+X}\]En cambio, el deslizamiento es considerablemente mayor para los armónicos ($s \approx 1$). La resistencia del rotor es entonces baja y la reactancia magnetizante queda en gran medida derivada por la impedancia del rotor. Las corrientes armónicas del lado del estator son iguales a las del lado del rotor y, si se desprecian las resistencias:
\[I_{1\ddot{o}} = I_{2\ddot{o}} = \frac{V_{\ddot{o}}}{X_1+X_2+X}\]Por tanto, la comparación entre los casos con y sin inductor en serie muestra que la corriente fundamental se reduce por el factor
\[\frac{X_1+X_m}{X_1+X_m+X}\]mientras que la corriente armónica se reduce por el factor
\[\frac{X_1+X_2}{X_1+X_2+X}.\]Dado que $X_m$ es considerablemente mayor que $X$, $X_1$ y $X_2$, la reducción de la componente fundamental es moderada. En consecuencia, las componentes fundamentales de la tensión en los bornes del inversor y de la tensión en los bornes del motor son aproximadamente iguales ($V_1 \approx U_1$). Para los armónicos, $X$, $X_1$ y $X_2$ son comparables. Por tanto, la división de tensión da
\[U_ö \approx V_ö \frac{X_1+X_2}{X_1+X_2+X}.\]Si puede suponerse que las pérdidas armónicas en el hierro son proporcionales al cuadrado de las tensiones armónicas, debe cumplirse lo siguiente:
\[P_{feö}(X) = P_{feö}(X=0) \frac{(X_1+X_2)^2}{(X_1+X_2+X)^2}.\]Si la diferencia entre la pérdida total en el hierro y la pérdida fundamental en el hierro —la pérdida sinusoidal— se reduce mediante este factor y se representa por encima de la pérdida fundamental, se obtienen los valores punteados de los Apéndices 1.2–1.3. Como se muestra, estos concuerdan bien con los valores calculados a partir de las pérdidas totales en vacío —cruces—. (Estos razonamientos no se ven afectados por el desplazamiento de corriente, porque es igualmente grande para cada armónico correspondiente en los tres casos.)
3. El motor bajo carga
3.1 Generalidades
Hasta ahora, las pérdidas solo se han estudiado en vacío. Para llegar al caso de interés práctico, se carga ahora el motor. El deslizamiento aumenta y se absorben una corriente y una potencia mayores. Las pérdidas en el cobre aumentan y, con alimentación PWM, las pérdidas totales —en el cobre y en el hierro— pueden ascender a aproximadamente 10 kW en un motor de 75 kW de potencia nominal.
Las pérdidas que exceden las correspondientes a la carga nominal con alimentación sinusoidal obligan a reducir la capacidad nominal del motor. Esto significa que debe extraerse menos par del motor para mantener baja la potencia de pérdidas y, por consiguiente, se requieren motores mayores para un par de carga dado. Si se inserta un inductor en serie en el circuito, pueden reducirse las pérdidas adicionales y mejorarse el factor de reducción nominal.
Bajo carga, la caída de tensión en el inductor deja de ser despreciable, porque el mayor deslizamiento deriva la reactancia magnetizante incluso para la componente fundamental. Por tanto, debe alcanzarse un compromiso entre el efecto negativo del inductor al reducir la tensión y su efecto positivo al atenuar las pérdidas armónicas del motor. Podría parecer que el equilibrio entre estos efectos produciría una pérdida mínima, si no fuera porque las pérdidas disminuyen con el cuadrado de la tensión mientras que la tensión del motor disminuye linealmente. Por ello, cuando la tensión y el espacio no imponen restricciones, conviene utilizar la mayor inductancia posible para reducir la pérdida de capacidad nominal de un motor dado.
3.2 Carga sin inductor en serie
Se estudian primero las condiciones generales cuando el motor no se alimenta a través de un inductor en serie. El programa informático se utilizó para calcular las pérdidas en el cobre en dos casos diferentes: primero, cuando la componente fundamental ($V_1$) de la tensión de alimentación ($V$) —aquí igual a $U$— se hizo directamente proporcional a la frecuencia; y, segundo, cuando el flujo se mantuvo constante. Esto último significa que la tensión $E_1$ (véase la Figura 4) debe variar linealmente con la frecuencia porque
\[E_1 \sim j\omega\Psi_1 \sim j\omega\Phi_1\]El primer caso no produce flujo constante porque, a bajas frecuencias, las resistencias se vuelven comparables a las reactancias y $E_1$ deja de ser una función lineal simple y sin desplazamiento de fase de $V_1$.
El efecto puede verse en el Apéndice 1.4, Figura 1. La figura muestra las pérdidas totales del motor a par constante (700 Nm) en función de la frecuencia. La curva A representa el primer caso, en el que la componente fundamental de la tensión en los bornes del inversor es $V_1 = kf$. El caso sinusoidal se calculó de forma correspondiente, obteniéndose la curva a. En el caso A, la reducción de capacidad nominal (Apéndice 1.4, Figura 2), $\xi = 1 - M/M_n$, se vuelve muy grande. Como $M\propto I$ y $P_{cu}\propto I^2$, se deduce que $\xi = 1- \sqrt{P_{cun} / {P_{cu}}}$. Sobre esta base, la reducción nominal es máxima a bajas frecuencias con alimentación PWM ($\xi$ = 18% a 11 Hz). Estos cálculos se basan en el supuesto de que la refrigeración forzada puede evacuar eficazmente todas las pérdidas, con independencia de la velocidad. En la práctica, esto ha resultado difícil de lograr, por lo que debe introducirse un término de corrección adicional que tenga en cuenta este efecto.
Cuando el flujo se mantiene constante, las condiciones son diferentes. Las pérdidas sinusoidales disminuyen entonces a bajas frecuencias porque las pérdidas en el cobre son constantes ($\Phi=\text{constante} \Rightarrow I=\text{constante}$) y las pérdidas en el hierro disminuyen con la frecuencia (curva b). En el caso PWM se produce un máximo de pérdidas alrededor de 30 Hz (curva B), y la reducción nominal es aproximadamente del 14%.
Por tanto, puede observarse que, con funcionamiento PWM y flujo constante, la reducción nominal puede variar aproximadamente entre el 8% y el 14%, y que las pérdidas alcanzan su máximo a 30 Hz.
3.3 Dependencia de las pérdidas respecto de la inductancia
El Apéndice 1.5 se preparó para estudiar cómo afecta el inductor a las pérdidas a una frecuencia dada. El par de carga fue de 700 Nm y la frecuencia de 30 Hz. La figura muestra tanto las pérdidas en el cobre bajo carga —divididas en pérdida fundamental ($P_{cu1}$) y pérdidas armónicas ($P_{cuö}$)— como la tensión de alimentación $V_1$ en función de la frecuencia.
Como en el caso de las pérdidas en el hierro, puede escribirse
\[P_{cuö}(X) = P_{cuö}(X=0) \frac{(X_1+X_2)^2}{(X_1+X_2+X)^2}.\]Por tanto, el orden de magnitud del inductor se encuentra en las proximidades de la reactancia de cortocircuito
\[X_k=X_1+X_2,\]es decir, aproximadamente 0.25 p.u. (véase el Apéndice 6). El diagrama del Apéndice 1.5 muestra los valores calculados por el programa —cruces— y los valores obtenidos con la expresión anterior y combinados con la pérdida fundamental —puntos—. Una vez más, la concordancia es buena. La disminución cuadrática significa que las pérdidas armónicas se han reducido por un factor de cuatro cuando
\[X=X_1+X_2=X_k,\]lo que puede considerarse una regla práctica aproximada para el tamaño requerido del inductor. También conviene observar la rapidez con que aumenta la tensión de alimentación necesaria al crecer la inductancia. Si la inductancia es ligeramente superior a 4 mH (0.86 p.u.), se requiere una tensión de alimentación $V$ de 220 $V_{eff}$, lo que corresponde al aprovechamiento máximo de la tensión de 488 V del enlace de CC. Con inductancias aún mayores no puede mantenerse el flujo constante.
3.4 Dependencia de las pérdidas respecto de la frecuencia
El efecto del inductor sobre las pérdidas también puede calcularse en función de la frecuencia. Para una inductancia y un par de carga dados, las pérdidas mínimas en el cobre se obtienen si el flujo del motor se mantiene constante, cualquiera que sea la frecuencia.
Esto exige, a su vez, aumentar la tensión de alimentación para compensar la caída de tensión en el inductor y el estator. A bajas frecuencias es posible porque aún no se utiliza toda la tensión disponible —aquí $V_1$ = 220 V—. Sin embargo, a medida que aumenta la frecuencia, se alcanza una frecuencia propia de cada inductor a partir de la cual ya no puede obtenerse más tensión del enlace de CC. Más allá de este límite, debe abandonarse el requisito de flujo constante en favor del requisito de par constante, que se satisface aumentando el deslizamiento.
El efecto puede estudiarse en los Apéndices 1.6 y 1.7. Si no hay inductor en el circuito, el problema no se presenta y la curva tiene la forma mostrada para $L$ = 0. Las demás curvas tendrían la misma forma convexa de no ser por el límite de tensión descrito anteriormente. En la curva de 1 mH (0.22 p.u.), por ejemplo, este límite se hace evidente aproximadamente a 44 Hz. Por encima de esta frecuencia, las pérdidas aumentan bruscamente debido al incremento de la corriente —hasta dicha frecuencia, el flujo constante había producido una corriente esencialmente constante, $s \propto 1/\textit{f}$—. El efecto es aún más pronunciado en el caso de 2 mH (0.43 p.u.). La caída de tensión en el inductor se vuelve entonces tan grande que no pueden obtenerse 700 Nm a frecuencias altas. Por ello parece apropiado puentear el inductor a una frecuencia límite determinada por el punto en que las pérdidas totales con y sin inductor son iguales. A frecuencias superiores a la frecuencia límite específica, las pérdidas siguen entonces la curva correspondiente a $L$ = 0.
Si se procede de este modo y se calcula a partir de las pérdidas la reducción nominal necesaria, se obtiene el Apéndice 1.7. Este muestra que una inductancia grande reduce la pérdida de capacidad nominal a bajas frecuencias, pero produce una gran variación de dicha reducción. Un inductor pequeño proporciona, en cambio, una curva de reducción nominal más uniforme.
3.5 Pulsaciones de par
El contenido armónico de la tensión de alimentación produce pulsaciones alrededor del par medio, que deben tenerse en cuenta. Adquieren especial importancia a bajas frecuencias, razón por la cual se utiliza el método de suprimir los armónicos quinto y séptimo (véase el Apéndice 2) para redistribuir los armónicos. El Apéndice 1.8, Figura 1, y el Apéndice 1.9 muestran los valores máximo y mínimo del par total a 700 Nm y 0 Nm ($\propto M_n$ y $\Theta$) en función de la frecuencia. Los valores de par se obtuvieron con el programa informático, que también tiene en cuenta la eliminación de armónicos de bajo orden. Las curvas solo ofrecen una visión general de las pulsaciones alrededor del par medio y de su dependencia respecto de la frecuencia. Si se representaran más puntos, los saltos en las transiciones entre modos de funcionamiento serían más evidentes.
Desconectar, por ejemplo, una inductancia de 1 mH (0.22 p.u.) a 47 Hz aumentaría las pulsaciones de aproximadamente ±150 Nm a ±300 Nm, lo que no es especialmente importante cuando el par es de 700 Nm. Sin embargo, con carga baja representa una duplicación.
Las curvas del Apéndice 1.8, Figura 1, y del Apéndice 1.9 también muestran que las pulsaciones son aproximadamente constantes e independientes del par de carga.
La reducción de la pulsación en función de la inductancia puede verse en el Apéndice 1.8, Figura 2. El par pulsante es proporcional a la corriente y, por tanto, de acuerdo con los cálculos anteriores, debe venir dado por
\[M_p(X) = M_p(X=0) \frac{X_1+X_2}{X_1+X_2+X}.\]Esto corresponde a los puntos, que concuerdan bien con las cruces obtenidas mediante el programa.
3.6 Cálculo de pesos
Un cálculo de pesos puede ser útil para determinar si puede encontrarse un peso combinado mínimo del motor y el inductor al par nominal. El peso se calcula de la siguiente manera:
Para cada inductancia especificada se calculan el peso del motor y el peso del inductor. El peso del motor se obtiene a partir de los datos del MBK 280 S-6S. El peso en función de la longitud de las partes activas del rotor y del estator se determina con los datos del Apéndice 6. A continuación se supone que la longitud de las partes activas es directamente proporcional a la potencia de pérdidas. El peso del inductor en función de la inductancia se obtiene del Apéndice 5, en el que se ha optimizado un inductor refrigerado por aire.
Los pesos se representan en el Apéndice 1.10. Allí se muestra que el mínimo de la curva de peso es muy poco pronunciado: el ahorro en tamaño del motor queda compensado por el peso del inductor. Sin embargo, esto no tiene en cuenta las ventajas relativas a las pulsaciones de par ni el espacio disponible.
4. Discusión
4.1 Posibilidades y limitaciones del procedimiento
El procedimiento de cálculo desarrollado permite determinar, para una combinación arbitraria de motor e inductor, la distribución y magnitud de las pérdidas, las caídas de tensión y la reducción nominal a diferentes frecuencias y tensiones. Junto con información sobre las dimensiones físicas del motor y del inductor y sobre el espacio disponible, esto proporciona una base para seleccionar la combinación de motor e inductor.
La exactitud del procedimiento está limitada en cierta medida por el supuesto de una tensión rectangular con flancos verticales. En realidad, el contenido armónico es por tanto menor y las pérdidas algo más pequeñas. Esta reducción queda compensada parcialmente por el hecho de que no se han incluido las pérdidas por fricción.
Una limitación de la rutina de cálculo es que las pérdidas correspondientes en el hierro con alimentación PWM no pueden calcularse a partir de una pérdida dada en el hierro con alimentación sinusoidal. Sin embargo, sobre la base del Apéndice 1.1 puede extraerse la conclusión general de que las pérdidas en el hierro con alimentación PWM superan a las del caso sinusoidal en un término aproximadamente constante para las distintas frecuencias, y que las pérdidas PWM en el hierro a 50 Hz son aproximadamente el doble de las pérdidas sinusoidales a la misma frecuencia.
Todo este estudio se basa en el supuesto de que la refrigeración forzada proporciona una refrigeración eficaz a todas las frecuencias. En la práctica, sin embargo, no es así, y la reducción nominal aumentará adicionalmente por un factor que depende de las condiciones de refrigeración de cada aplicación concreta.
4.2 Tamaño del inductor sin restricción de espacio para el motor
Si el motor se va a utilizar en un entorno donde el espacio disponible para el motor y el inductor es prácticamente ilimitado, el Apéndice 1.10 muestra que el uso de un inductor en serie no produce un ahorro apreciable. Desde esta perspectiva, por tanto, no existe razón para utilizar el inductor en serie, salvo para limitar las pulsaciones de par.
4.3 Tamaño del inductor con espacio limitado para el motor
Si las dimensiones del espacio destinado al motor son fijas, como ocurre, por ejemplo, en el bogie de una locomotora, el argumento del peso deja de ser aplicable. El objetivo pasa a ser obtener el par máximo de un motor dado. En esos casos, el inductor debe seleccionarse con un tamaño suficiente para proporcionar una reducción razonable de los armónicos. Las pérdidas armónicas en función de la inductancia pueden expresarse aproximadamente como:
\[P_{cuö}(X) = P_{cuö}(X=0) \frac{(X_1+X_2)^2}{(X_1+X_2+X)^2},\] \[P_{feö}(X) = P_{feö}(X=0) \frac{(X_1+X_2)^2}{(X_1+X_2+X)^2},\] \[X_1+X_2 \approx X_k.\]Por tanto, para reducir las pérdidas armónicas a una cuarta parte de las pérdidas sin inductor se requiere un inductor $L=L_k$. Esto también reduce a la mitad las pulsaciones de par
\[M_p(X) = M_p(X=0) \frac{X_1+X_2}{X_1+X_2+X}.\]El inductor debe seleccionarse en este orden de magnitud. Un inductor más pequeño no produce una mejora apreciable respecto del funcionamiento sin inductor, mientras que uno grande —por ejemplo, $L=2 \times L_k$— solo proporciona mejoras marginales muy pequeñas.
Un inductor grande también tiene una frecuencia límite baja a partir de la cual ya no puede mantenerse constante el flujo del motor y aumentan las pérdidas del motor (Apéndices 1.6 y 1.7). Con independencia del tamaño del inductor, este debe desconectarse a la frecuencia en la que las pérdidas con y sin el inductor en el circuito sean iguales.
5. Referencias
P. Krause, Método de marcos de referencia múltiples aplicado al análisis de máquinas de inducción simétricas. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, vol. PAS-87, n.º 1, pp. 218-226.
F. G. G. de Buck, Adaptación del diseño de motores de inducción alimentados por inversor. Electric Power Applications, mayo de 1978, vol. 1, n.º 2, pp. 54-60.
E. Alm, Ingeniería eléctrica, volumen III: Máquinas eléctricas, Parte 2A, 1927, pp. 356–362.
-
F. Gustavson, Compendio de conversión de energía electromecánica, Parte 1, 1978, pp. 4.1–4.20.
-
T. Porteous, Descripciones de los programas PWMOT y RESIST.
Apéndices
El Apéndice 1 consta principalmente de diagramas y se ha omitido. Estos están disponibles en la copia fotostática original.
Apéndice 2. Forma de onda de la tensión de alimentación y análisis de Fourier
B2.1 Forma de onda
En el caso más sencillo, el inversor puede suministrar una tensión rectangular —la tensión de referencia— multiplicada por una tensión de modulación formada por pulsos de anchura modulada. Sin embargo, este tipo de alimentación produce fuertes pulsaciones debidas a los armónicos quinto y séptimo, especialmente a bajas frecuencias. Para eliminarlas, se introducen muescas en la tensión de referencia, de manera que estos armónicos de bajo orden se desplazan hacia frecuencias más altas.
Estas dos señales se desarrollan en series de Fourier y se multiplican entre sí.
B2.2 Desarrollo de Fourier
$R(\varphi)$ es una función impar. Por tanto, su desarrollo de Fourier solo contiene términos seno.
Puede suponerse que el número de muescas es par, porque un número impar puede convertirse en uno par sin modificar las condiciones —colocando una muesca en $\pi/2$—.
\[\begin{aligned} R_n &= \frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} R(\varphi)\sin(n\varphi)\,d\varphi \\ &= \frac{4}{\pi}\int_0^{\pi/2} R(\varphi)\sin(n\varphi)\,d\varphi \\ &= \frac{4}{\pi}\left[ \int_0^{\pi/2}\sin(n\varphi)\,d\varphi -2\sum_{k=1}^{j} \int_{\alpha_{2k-1}}^{\alpha_{2k}}\sin(n\varphi)\,d\varphi \right] \\ &= \{\text{la señal sin muescas menos las muescas}\} \\ &= \frac{4}{n\pi}\left[ 1+2\sum_{k=1}^{j} \left(\cos(n\alpha_{2k})-\cos(n\alpha_{2k-1})\right) \right]. \end{aligned}\]Es decir,
\[R_n = \frac{4}{n\pi} \left[ 1+2\sum_{k=1}^{2j}(-1)^k\cos(n\alpha_k) \right].\]$M(\theta)$ es una función par. Por tanto, su desarrollo de Fourier solo contiene términos coseno.
\[\begin{aligned} M_i &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}M(\theta)\cos(i\theta)\,d\theta \\ &= \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}M(\theta)\cos(i\theta)\,d\theta \\ &= \frac{2}{\pi}\int_0^{m\pi}\cos(i\theta)\,d\theta \\ &= \frac{2}{i\pi}\sin(i m\pi). \end{aligned}\] \[M_0=\text{valor medio de la señal de modulación}=m.\]Esto da la serie de Fourier de $M$, incluido el desplazamiento de fase:
\[M(\theta-\theta_0) = m+\sum_{i=1}^{\infty}M_i\cos\left[i(\theta-\theta_0)\right].\]El ángulo de la señal de referencia es
\[\psi=\omega t.\]El ángulo de la señal de modulación es
\[\theta=\int_0^t N\omega\,dt,\]donde $N$ es el número de pulsos de modulación en el sistema de coordenadas de la señal de referencia,
\[N=6p, \qquad p=1,2,3,\ldots\]Si la señal de referencia actúa en un sistema trifásico sin componente de secuencia cero, se eliminan las frecuencias múltiplos de tres, quedando armónicos de orden
\[6q\pm1, \qquad q=1,2,3,\ldots\]La multiplicación de las dos señales da:
\[\begin{aligned} R(\psi)M(\theta-\theta_0) &= \left[ \sum_{n=1,5,7,\ldots}^{\infty}R_n\sin(n\omega t) \right] \left[ m+\sum_{i=1}^{\infty}M_i\cos\left[i(N\omega t-\theta_0)\right] \right] \\ &= m\sum_{n=1,5,7,\ldots}^{\infty}R_n\sin(n\omega t) \\ &\quad+ \sum_{n=1,5,7,\ldots}^{\infty} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{R_nM_i}{2} \Bigl\{ \sin\left[(n+iN)\omega t-i\theta_0\right] \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad + \sin\left[(n-iN)\omega t+i\theta_0\right] \Bigr\}. \end{aligned}\]Apéndice 3. Modelo de cálculo
B3.1 Supuestos
Se requiere un modelo matemático para estudiar el funcionamiento de la máquina de inducción con alimentación PWM. Se basa en los siguientes supuestos:
- dq-transformation
- análisis de Fourier y superposición
- no existe componente de secuencia cero
Una máquina trifásica de dos polos puede representarse de la siguiente manera —con un inductor en serie en el lado del estator—:
B3.2 dq-transformation
De la Figura 1 se obtienen expresiones para las tensiones que, después de la transformación dq,
\[\begin{bmatrix} \gamma_{d1} \\ \gamma_{q1} \end{bmatrix} = \frac{2}{3} \begin{bmatrix} \sin\theta & \sin\left(\theta-\frac{2\pi}{3}\right) & \sin\left(\theta+\frac{2\pi}{3}\right) \\ \cos\theta & \cos\left(\theta-\frac{2\pi}{3}\right) & \cos\left(\theta+\frac{2\pi}{3}\right) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \gamma_{r1} \\ \gamma_{s1} \\ \gamma_{t1} \end{bmatrix}\]dan las siguientes expresiones en el lado del estator:
\[U_{d1} = p\Psi_{d1} - \Psi_{q1}p\theta + (R+R_1)i_{d1},\] \[U_{q1} = p\Psi_{q1} + \Psi_{d1}p\theta + (R+R_1)i_{q1},\]donde $\theta$ es el ángulo entre el eje q y el eje r del estator.
Para el rotor, de manera correspondiente ($\beta$ = ángulo entre el eje q y el eje r del rotor):
\[\begin{bmatrix} \gamma_{d2} \\ \gamma_{q2} \end{bmatrix} = \frac{2}{3} \begin{bmatrix} \sin\beta & \sin\left(\beta-\frac{2\pi}{3}\right) & \sin\left(\beta+\frac{2\pi}{3}\right) \\ \cos\beta & \cos\left(\beta-\frac{2\pi}{3}\right) & \cos\left(\beta+\frac{2\pi}{3}\right) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \gamma_{r2} \\ \gamma_{s2} \\ \gamma_{t2} \end{bmatrix}\]y
\[U_{d2} = p\Psi_{d2} - \Psi_{q2}p\beta + R_2 i_{d2},\] \[U_{q2} = p\Psi_{q2} + \Psi_{d2}p\beta + R_2 i_{q2}.\]Las expresiones para los flujos concatenados son:
\[\Psi_{d1} = (L+L_1+M)i_{d1} + \frac{N_2}{N_1}M i_{d2},\] \[\Psi_{q1} = (L+L_1+M)i_{q1} + \frac{N_2}{N_1}M i_{q2},\] \[\Psi_{d2} = \left(L_2+\frac{N_2}{N_1}M\right)i_{d2} + M i_{d1},\] \[\Psi_{q2} = \left(L_2+\frac{N_2}{N_1}M\right)i_{q2} + M i_{q1},\]cuando se utiliza la misma transformación dq.
Para simplificar los cálculos, puede resultar conveniente referir las magnitudes del rotor al sistema de referencia del estator. Se obtiene así:
\[U'_{d2} = p\Psi'_{d2} - \Psi'_{q2}p\beta + R'_2 i'_{d2},\] \[U'_{q2} = p\Psi'_{q2} + \Psi'_{d2}p\beta + R'_2 i'_{q2},\]donde
\[\Psi_{d1} = (L+L_1)i_{d1} + M(i_{d1}+i'_{d2}),\] \[\Psi_{q1} = (L+L_1)i_{q1} + M(i_{q1}+i'_{q2}),\] \[\Psi'_{d2} = L'_2 i'_{d2} + M(i_{d1}+i'_{d2}),\] \[\Psi'_{q2} = L'_2 i'_{q2} + M(i_{q1}+i'_{q2}).\]Aquí se han utilizado las relaciones
\[i'_2=\frac{N_2}{N_1}i_2,\] \[L'_2=\frac{N_1}{N_2}L_2\].
Al combinar estas expresiones en forma matricial se obtiene:
\[\begin{bmatrix} U_{d1} \\ U_{q1} \\ U'_{d2} \\ U'_{q2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\omega(L+L_1+M) & R+R_1+(L+L_1+M)p & -\omega M & Mp \\ R+R_1+(L+L_1+M)p & \omega(L+L_1+M) & Mp & \omega M \\ -(\omega-\omega_r)M & Mp & -(\omega-\omega_r)L'_2 & R'_2+L'_2p \\ Mp & (\omega-\omega_r)M & R'_2+L'_2p & (\omega-\omega_r)L'_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_{d1} \\ i_{q1} \\ i'_{d2} \\ i'_{q2} \end{bmatrix},\]donde $\omega_r$ es la velocidad angular del rotor.
Finalmente se obtiene una expresión para el par:
\[M_v = M\left(\frac{a}{2}\right)\left(\frac{P}{2}\right) \left(i_{q1}i'_{d2}-i_{d1}i'_{q2}\right),\]donde $a$ es el número de fases y $P$ el número de polos.
B3.3 Análisis de Fourier
Para continuar el análisis se introduce ahora la forma de onda producida por el inversor. El superíndice $s$ —por ejemplo, $V_{q1}^{s}$— indica variables en el sistema de referencia del estator, mientras que $e$ indica un sistema de referencia que gira sincrónicamente.
A partir de las ecuaciones de $\gamma$:
\[\begin{aligned} V_{d1}^{s} &= \frac{1}{\sqrt{3}}(-V_{s1}+V_{t1}) \\ &= &= \{\text{desarrollo de Fourier}\} \\ &= \sum_{k=1}^{\infty} \left( V_{kd\alpha}\cos(k\omega_e t) + V_{kd\gamma}\sin(k\omega_e t) \right), \end{aligned}\] \[V_{q1}^{s} = V_{t1} = \sum_{k=1}^{\infty} \left( V_{kq\alpha}\cos(k\omega_e t) + V_{kq\gamma}\sin(k\omega_e t) \right).\]Expresado en el sistema $e$, esto se convierte en:
\[V_{d1}^{e} = V_{q1}^{s}\sin(\omega_e t) + V_{d1}^{s}\cos(\omega_e t),\] \[V_{q1}^{e} = V_{q1}^{s}\cos(\omega_e t) - V_{d1}^{s}\sin(\omega_e t).\]La sustitución de las expresiones de $V_{d1}^{s}$ y $V_{q1}^{s}$ da ondas que giran hacia delante y hacia atrás, designadas $+e$ y $-e$.
\[\begin{aligned} V_{kd1}^{+e} = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty} \Bigl[ &-(V_{kq\alpha}-V_{kd\gamma}) \sin((k-1)\omega_e t) \\ &+(V_{kq\gamma}+V_{kd\alpha}) \cos((k-1)\omega_e t) \Bigr], \end{aligned}\] \[\begin{aligned} V_{kq1}^{+e} = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty} \Bigl[ &(V_{kq\alpha}-V_{kd\gamma}) \cos((k-1)\omega_e t) \\ &+(V_{kq\gamma}+V_{kd\alpha}) \sin((k-1)\omega_e t) \Bigr], \end{aligned}\] \[\begin{aligned} V_{kd1}^{-e} = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty} \Bigl[ &(V_{kq\alpha}+V_{kd\gamma}) \sin((k+1)\omega_e t) \\ &-(V_{kq\gamma}-V_{kd\alpha}) \cos((k+1)\omega_e t) \Bigr], \end{aligned}\] \[\begin{aligned} V_{kq1}^{-e} = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty} \Bigl[ &(V_{kq\alpha}+V_{kd\gamma}) \cos((k+1)\omega_e t) \\ &+(V_{kq\gamma}-V_{kd\alpha}) \sin((k+1)\omega_e t) \Bigr]. \end{aligned}\]Para resolver las ecuaciones de los distintos armónicos, conviene establecer un sistema de referencia separado para cada uno, de modo que los parámetros sean constantes. Por tanto, los diferentes armónicos se transforman individualmente:
\[\gamma_{d1}^{+ke} = \gamma_{kq1}^{+e}\sin((k-1)\omega_e t) + \gamma_{kd1}^{+e}\cos((k-1)\omega_e t),\] \[\gamma_{q1}^{+ke} = \gamma_{kq1}^{+e}\cos((k-1)\omega_e t) - \gamma_{kd1}^{+e}\sin((k-1)\omega_e t),\] \[\gamma_{d2}^{+ke} = \gamma_{kq2}^{+e}\sin((k-1)\omega_e t) + \gamma_{kd2}^{+e}\cos((k-1)\omega_e t),\] \[\gamma_{q2}^{+ke} = \gamma_{kq2}^{+e}\cos((k-1)\omega_e t) - \gamma_{kd2}^{+e}\sin((k-1)\omega_e t),\]y
\[\gamma_{d1}^{-ke} = -\gamma_{kq1}^{-e}\sin((k+1)\omega_e t) + \gamma_{kd1}^{-e}\cos((k+1)\omega_e t),\] \[\gamma_{q1}^{-ke} = \gamma_{kq1}^{-e}\cos((k+1)\omega_e t) + \gamma_{kd1}^{-e}\sin((k+1)\omega_e t),\] \[\gamma_{d2}^{-ke} = -\gamma_{kq2}^{-e}\sin((k+1)\omega_e t) + \gamma_{kd2}^{-e}\cos((k+1)\omega_e t),\] \[\gamma_{q2}^{-ke} = \gamma_{kq2}^{-e}\cos((k+1)\omega_e t) + \gamma_{kd2}^{-e}\sin((k+1)\omega_e t).\]Con las tensiones del rotor iguales a cero, la combinación de las ecuaciones anteriores da:
\[V_{d1}^{+ke} = \frac{1}{2}(V_{kq\alpha}+V_{kd\gamma}),\] \[V_{q1}^{+ke} = \frac{1}{2}(V_{kq\gamma}-V_{kd\alpha}),\] \[V_{d1}^{-ke} = \frac{1}{2}(V_{kq\alpha}-V_{kd\gamma}),\] \[V_{q1}^{-ke} = \frac{1}{2}(V_{kq\alpha}+V_{kd\gamma}).\]Las corrientes pueden resolverse ahora tomando la inversa de
\[\begin{bmatrix} V_{d1} \\ V_{q1} \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}^{\pm ke} = \begin{bmatrix} -n\omega_e(L+L_1+M) & R+R_1+(L+L_1+M)p & -n\omega_eM & Mp \\ R+R_1+(L+L_1+M)p & n\omega_e(L+L_1+M) & Mp & n\omega_eM \\ -(n\omega_e-\omega_r)M & Mp & -(n\omega_e-\omega_r)L'_2 & R'_2+L'_2p \\ Mp & (n\omega_e-\omega_r)M & R'_2+L'_2p & (n\omega_e-\omega_r)L'_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_{d1} \\ i_{q1} \\ i'_{d2} \\ i'_{q2} \end{bmatrix}^{\pm ke}\]Estas ecuaciones se resuelven y proporcionan después las pérdidas y el par de la manera habitual, a partir del circuito equivalente convencional para las ondas que giran hacia delante y hacia atrás.
Apéndice 4. Descripción del programa PWMIND
Índice
B4.1 $\ $ Generalidades
B4.2 $\ $ Ámbito de aplicación
B4.3 $\ $ Secuencia de cálculo
B4.4 $\ $ Datos de entrada
B4.5 $\ $ Salida
B4.6 $\ $ “Flujo constante”
B4.7 $\ $ “Iteración de s”
B4.8 $\ $ Instrucciones de ejecución
B4.9 $\ $ Listado del programa
B4.10 $\ $ Ejemplo de ejecución
B4.1 Generalidades
El programa PWMIND es una modificación del programa PWMOT y calcula pérdidas, tensión, corriente y par para una combinación arbitraria de un inductor en serie y una máquina de inducción.
B4.2 Ámbito de aplicación
Se obtienen resultados correctos para todos los circuitos equivalentes lineales en los que la tensión de alimentación tiene una forma de onda y una frecuencia arbitrarias. El programa también tiene en cuenta el desplazamiento de corriente, que adquiere especial importancia a frecuencias altas.
B4.3 Secuencia de cálculo
El programa realiza primero un análisis de Fourier de la tensión. A continuación calcula las corrientes de cada armónico a partir de los datos de la máquina y de la amplitud de la tensión. Finalmente, estos resultados se utilizan para obtener la caída de tensión en el inductor y las pérdidas, el par y la caída de tensión en el motor.
B4.4 Datos de entrada
Primero se solicitan los datos de entrada de la tensión:
| Variable del programa | Magnitud | Referencia |
|---|---|---|
| $N$ | $J’$ | Apéndice 2 |
| AIN(I) | $\alpha_i$ | Apéndice 2 |
| $\mathrm{NMAX}$ | Término más alto del desarrollo de Fourier | |
| APK | $m$ | Apéndice 2 |
| MK | $p$ | Apéndice 2 |
| FFT | $\theta_0$ | Apéndice 2 |
Como alternativa, los coeficientes de armónicos seleccionados pueden obtenerse mediante desarrollo continuo de Fourier (IS, NRWANT(I)).
Para flujo constante, véase el apartado con ese título.
A continuación se introducen los parámetros de la máquina. Solo es necesario hacerlo antes del primer cálculo o cuando se requieran nuevos datos de la máquina.
| Variable del programa | Significado | Unidad/observación |
|---|---|---|
| RES(1) | Resistencia del estator | $\Omega/\text{fase}$, Y equivalente |
| XI(1) | Reactancia del estator | Igual |
| XI(2) | Reactancia magnetizante | Igual |
| XI(3) | Reactancia del rotor | Igual |
| RES(2) | Resistencia del rotor | Igual |
| POLES | Número de polos | — |
| BASEF | Frecuencia base | Hz |
Las etiquetas de la figura indican:
SPTR: tipo de ranura según el programa RESIST $\rho_2$: resistividad del conductor- $R_{\mathrm{rat}}$: relación entre el diámetro medio de la ranura y el diámetro medio del rotor
Lo anterior muestra las dimensiones de la ranura del rotor necesarias para calcular el desplazamiento de corriente.
Para la iteración de s, véase el apartado con ese título.
Para iniciar el cálculo también se requiere lo siguiente:
| Variable del programa | Significado | Unidad |
|---|---|---|
FM0 |
Frecuencia actual | Hz |
SM |
Deslizamiento | |
UD/2 |
Mitad de la tensión del enlace de CC | V |
Para el inductor en serie se requiere lo siguiente:
| Variable del programa | Significado | Unidad |
|---|---|---|
R |
Resistencia del inductor | $\Omega/\text{fase}$ |
L |
Inductancia del inductor | H/fase |
B4.5 Salida
Los valores de salida se explican por sí mismos, pero debe observarse que las tensiones son valores de cresta.
B4.6 “Flujo constante”
Cuando la máquina de inducción se utiliza a distintas frecuencias, se procura siempre mantener constante el flujo $\Phi$ con el fin de minimizar las pérdidas a par de carga constante. Este flujo $\Phi$ es proporcional a $E/f$; por consiguiente, para mantener el flujo constante, $E$ debe conservarse linealmente proporcional a la frecuencia —para la componente fundamental—. Como se producen caídas de tensión en las impedancias del inductor y del estator, la tensión en bornes $V$ debe aumentarse continuamente para mantener el flujo constante. Esto es más perceptible a bajas frecuencias.
$V$ se eleva aumentando la relación de impulsos por encima de su valor normal de
\[\mathrm{APK}=\frac{\mathrm{FM0}}{\mathrm{FB}}.\]De este modo, la señal de modulación se ensancha y aumenta el valor de cresta de la componente fundamental. Sin embargo, esto solo puede mantenerse a bajas frecuencias y con inductancias pequeñas, porque de lo contrario la relación de impulsos se vuelve mayor que uno, lo cual es imposible.
Para mantener constante el flujo, se responde con un uno a la pregunta correspondiente. El programa entra entonces en un bucle iterativo entre 0800 y 3060. El bucle comienza calculando los términos de Fourier. A continuación se calcula el valor de cresta de la tensión fundamental de flujo EQ (= la tensión de flujo del programa). Si difiere del valor de cresta deseado E1 de la tensión de flujo, la ejecución vuelve a 103 y se modifica la relación de impulsos APK.
La iteración continúa de este modo hasta que EQ y E1 difieren como máximo un 0.4%. Entonces se sale del bucle y el programa continúa normalmente utilizando la última relación de impulsos aplicada.
NOTA: $E$ es un valor de cresta.
B4.7 “Iteración de s”
Con frecuencias o inductancias suficientemente altas, el flujo no puede mantenerse constante. En su lugar debe aumentarse el deslizamiento para obtener par constante.
Para determinar el deslizamiento necesario para un par dado, se ha insertado un bucle iterativo entre 1920 y 3140. Si se responde afirmativamente a la pregunta sobre la iteración de s, este bucle se ejecuta para la componente fundamental. En 3140 se imprime el par fundamental ($\approx$ par total). Si difiere del par deseado, se vuelve a entrar en el bucle con un valor diferente de s.
Advertencia. Como los bucles interactúan, es necesario proceder con cuidado. Si, por ejemplo, se realiza una iteración de flujo constante, no conviene entrar al mismo tiempo en el bucle de iteración de s.
B4.8 Instrucciones de ejecución
El programa está diseñado para TIME SHARING y, por tanto, se ejecuta desde un terminal. Después de iniciar sesión, introdúzcase:
FORT
RUN CPWMIND;CSUBROUT
a lo que el terminal responde:
LOADER DIAGNOSTICS ......
A continuación, el programa solicita los parámetros descritos como datos de entrada en la Sección 4.
Puede obtenerse más información en la descripción del programa PWMOT.
B4.9 Listado del programa PWMIND
Parte 1
0100C PROGRAM FÖR MASKINBERÄKNING MED PWM REFERENS-
0110C OCH MODULATIONSPULSER SOM INDATA
0120C PROGRAMMET BERÄKNAR MOMENTANVÄRDEN PÅ SPÄNNING,
0130C STRÖMMAR OCH MOMENT. FÖRLUSTER BERÄKNAS
0140C *******************************************************
0150 DIMENSION RES(50,5),AIN(10),NRWANT(50)
0155 DIMENSION KIND(50),IIND(50)
0160 DIMENSION ABM(50,5),U(50,2,2)
0165 DIMENSION UDQ(50),UDG(50),UDA(50), VOD(50)
0170 DIMENSION DELTAU(50,2)
0180 DIMENSION VOD(50,4),HM(20),EE(4),SI(4),BS(20)
0190 DIMENSION AINTID(10)
0200 DIMENSION H(20),BC(20),RHO(20)
0210 DIMENSION A(50,2,4),RROT(50,2),EFF(50,2)
0220 COMMON/LABEL2/RS,LS,M,LR,RR,WE,WR,A(4,4),RI,LI,B(4,4)
0230 COMMON/LABEL1/IND(199)
0240 REAL PI/3.14159/
0250 REAL MOM1
0260 REAL KM,LS,LR,M,LI
0270 REAL PCU1,PCU2,IQST,IDST,IQRT,IDRT,MOMT
0280 CHARACTER TEXT*42
0290 1 CONTINUE
0300 DO 3 I=1,50
0310 NRWANT(I)=0
KIND(I)=0
IIND(I)=0
0320 IF(I.LT.11) AIN(I)=0.
0330 3 CONTINUE
0340 DO 5 I=2,198,2
0350 IND(I)=3*I-1
0360 5 IND(I+1)=3*I+1
0370 IND(1)=1
0380 PRINT,"GE ANTAL ARGUMENT (ALFA) SOM INTE=0"
0390 READ,N
0400 NTID=N
0410 PRINT,"GE ARGUMENTEN I GRADER"
0420 READ,(AINTID(I),I=1,N)
0430 DO 10 I=1,N
0440 10 AIN(I)=AINTID(I)*PI/180
0450 DO 7 I=1,N
0460 AINTID(I)=AIN(I)
0470 7 CONTINUE
0480 PRINT,"ÖNSKAS SÄRSKILDA FREKVENSER? 1=JA"
0490 READ,IS
0500 IF(IS.NE.1) GO TO 15
0510 PRINT,"GE ANTALET ÖNSKADE FREKVENSER"
0520 READ,NT
0530 PRINT,"GE FREKVENSERNA SOM F/F0, F0=GRUNDTON"
0540 READ,(NRWANT(I),I=1,NT)
0550 GO TO 40
0560 15 PRINT,"GE HÖGSTA ÖNSKADE FREKVENS F/F0, F0=GRUNDTON"
0570 READ,NMAX
0580 DO 20 I=1,199
0590 IF(IND(I).GT.NMAX) GO TO 30
0600 20 NRWANT(I)=IND(I)
0610 30 NT=I-1
0620 40 CONTINUE
0630 PRINT,"GE PULSKVOT"
0640 READ,APK
0650 PRINT,"GE (ANTALET PULSER PER PERIOD)/6"
0660 READ,MK
0670 MKN=6*MK
0680 PRINT,"GE FASFÖRSKJUTNING I GRADER"
0690 READ,FFI
Parte 2
0700 PRINT,"GE MINSTA AMPLITUD SOM SKALL ADDERAS"
0710 READ,RMMIN
0720 FFI=FFI*PI/180
0730 IE=2
0740 PRINT,"ÖNSKAS KONSTANT FLÖDE? 1=JA"
0750 READ,IE
0760 IF(IE.NE.1) GOTO 107
0770 PRINT,"GE ÖNSKAT E-VÄRDE"
0780 READ,E1
0790 107 CONTINUE
0800 103 CONTINUE
0810C
0820 WRITE(6,104) APK
0830 104 FORMAT(1X,"PULSKVOT=",F10.4)
0840 K1=0
0850 N=NTID
0860 DO 109 I=1,N
0870 109 AIN(I)=AINTID(I)
0880 DO 200 J=1,NT
0890 R1=APK*REFK(N,AIN,NRWANT(J))
0900 R2=NRWANT(J)
0910 R3=0
0920 CALL FIND1(NRWANT(J),MKN,KIND,IIND,M1)
0930 IF(M1.LT.1) GO TO 120
0940 DO 110 J1=1,M1
0950 RM=AMT(APK,IIND(J1))*REFK(N,AIN,KIND(J1))/2.
0960 FI=-IIND(J1)*FFI
0970 IF(ABS(RM).LT.RMMIN) GO TO 110
0980 CALL ADD(RM,R1,FI,R3,FI,RR1,RR3)
0990 R1=RR1
1000 R3=RR3
1010 110 CONTINUE
1020 120 CONTINUE
1030 CALL FIND2(NRWANT(J),MKN,KIND,IIND,M2)
1040 IF(M2.EQ.0) GO TO 150
1050 DO 140 J2=1,M2
1060 K2=IABS(KIND(J2))
1070 I2=IABS(IIND(J2))
1080 RM=AMT(APK,I2)*REFK(N,AIN,K2)/2.
1090 RM=RM*SIGN(1.,KIND(J2))
1100 IF(ABS(RM).LT.RMMIN) GO TO 140
1110 FI=FFI*IIND(J2)
1120 CALL ADD(RM,R1,FI,R3,FI,RR1,RR3)
1130 R1=RR1
1140 R3=RR3
1150 140 CONTINUE
1160 150 K1=K1+1
1170 RES(K1,1)=R1
1180 RES(K1,2)=R2
1190 RES(K1,3)=R3
1200 200 CONTINUE
1210C
1220 IF(IE.EQ.1) GOTO 411
1230 WRITE(6,420)
1240 420 FORMAT(1X,5(1H*),/T10,"RESULTAT AV FOURIERANALYS:",
& /5(1H*),/T10,"F/F0",5X,"AMPLITUD",3X,"FASVINKEL",
& /70(1H-))
1260 WRITE(6,430)(RES(I,2),RES(I,1),RES(I,3),I=1,K1)
1270 430 FORMAT(1X,T10,F4.0,5X,F7.5,2X,F9.5)
1280 440 CONTINUE
1290 411 CONTINUE
Parte 3
1300 PRINT,"ÖNSKAS NY FOURIER-ANALYS ? 1=JA"
1310 READ,IIVS
1320 IF(IIVS.EQ.1) GO TO 1
1330 PRINT,"NYA MASKINKONSTANTER ? 1=JA"
1340 READ,MASK
1350C
1360 K3=K1
1370 IF(MASK.NE.1) GOTO 405
1380 PRINT,"ÖNSKAS MBK 280 S-6:S MASKINKONSTANTER? 1=JA"
1390 READ,IMBK
1400 IF(IMBK.NE.1) GOTO 404
1410 RS=.048
XLS=.21
XM=3.886
XLR=.16
RRO=.051
P=6
FB=50
1420 SPTR=2
BS21=3.95
BS22=3.95
HS2=29.2
BSY2=2
HSY2=1
1430 BSMR=0
HSMR=0
BCR1=3.75
BCMR=0
HCR=28
RHO2=.0425
RRAT=.65
1440 404 CONTINUE
1450 IF(IMBK.EQ.1) GOTO 405
1460 PRINT,"GE INDATA: RS,XLS,XM,XLR,RRO,P,FB"
1470 READ,RS,XLS,XM,XLR,RRO,P,FB
1480 PRINT,"ROTOR-SPTR: BS21,BS22,HS2,BSY2,HSY2,BSMR,HSMR",
1490 & " BCR1,BCMR,HCR,RHO2,RRAT"
1500 READ,SPTR,BS21,BS22,HS2,BSY2,HSY2,BSMR,HSMR,
1510 & BCR1,BCMR,HCR,RHO2,RRAT
1520 405 CONTINUE
1530 PRINT,"ÖNSKAS S-ITERATION? 1=JA"
1540 READ,IIVS
1550 390 PRINT,"GE FM0, SM, UD/2"
1560 READ,FM0,SM,UM1
1570 RI=0
LI=0
1580 PRINT,"SKALL SERIEREAKTOR INGÅ I BERÄKNINGARNA? 1=JA"
1590 READ,KS
1600 IF(KS.NE.1) GOTO 392
1610 PRINT,"GE SERIEREAKTORDATA: R,L"
1620 READ,RI,LI
1630 XL=2*PI*FB*LI
1640 392 CONTINUE
1650 397 CONTINUE
1660 394 CONTINUE
1670 CALL SARE(SPTR,BS21,BS22,HS2,BSY2,HSY2,BSMR,HSMR,
1680 & BCR1,BCMR,HCR,RHO2,N,BS,H,BC,RHO)
1690 WRITE(6,530)
1700 530 FORMAT(1X,5(1H*))
1710C UPPLÄGGNING AV RESULTAT FRÅN FOURIER-ANALYS
1720C 3-FAS TILL Q OCH D-AXEL
1730 WRITE(6,545)
1740C
1750 K1=K3
1760 IF(IIVS.EQ.1) K1=1
1770 IF(IE.EQ.1) K1=1
1780 DO 540 I=1,K1
1790 A2=RES(I,1)*SIN(RES(I,3))+UM1
1800 B3=RES(I,1)*COS(RES(I,3))+UM1
1810 ABM(I,1)=RES(I,2)
1820 ABM(I,2)=A2
1830 ABM(I,3)=B3
1840 IN=ABM(I,1)
1850 540 WRITE(6,550) A2,IN,B3,IN
1860C
1870 PRINT,"COPY"
READ,STRUNT
1880 545 FORMAT(1X,6(1H*),/T10,"SPÄNNING Q-AXEL")
1890 550 FORMAT(1X,T10,F10.3,"*COS(",I2,"*WT) +",
Parte 4
1900 & I2,"*WT) + ",F10.3,"*SIN(",I2,"*WT) +")
1910 559 CONTINUE
1920 WRITE(6,530)
1930C WQ & WD
1940 S2=2/SQRT(3)
1950C
1960 K1=K3
1970 IF(IIVS.EQ.1) K1=1
1980 IF(IE.EQ.1) K1=1
1990 DO 560 I=1,K1
2000 ABM(I,4)=S2*ABM(I,3)*SIN(ABM(I,1)*2*PI/3)
2010 ABM(I,5)=-S2*ABM(I,2)*SIN(ABM(I,1)*2*PI/3)
2020 IN=ABM(I,1)
2030 560 CONTINUE
2040C
2050 XS=XLS+XM
2060 XR=XLR+XM
2070 WP=2*PI*FB
2080 WE=2*PI*FM0
2090 LS=XS/WP
2100 M=XM/WP
2110C
2120 EE(3)=0.
2130 EE(4)=EE(3)
2140C
2150 IF(KS.NE.1) GOTO 699
2160 DO 698 K=1,50
2170 DO 698 J=1,2
2180 DO 698 I=1,2
2190 U(K,J,I)=0.0
2200 698 CONTINUE
2210 699 CONTINUE
2220 K1=K3
2230 IF(IE.EQ.1) K1=1
2240 DO 700 K=1,K1
2250 KU=ABM(K,1)
2260 WR=WE*(1-SM)
2270C
2280 VOD(K,1)=0.5*(ABM(K,2)-ABM(K,5))
2290 VOD(K,2)=0.5*(ABM(K,3)+ABM(K,4))
2300 VOD(K,3)=0.5*(ABM(K,2)+ABM(K,5))
2310 VOD(K,4)=0.5*(ABM(K,3)-ABM(K,4))
2320C
2330 DO 700 J=1,3,2
2340 MP=1
2350 IF(J.EQ.3) MP=2
2360 EE(1)=VOD(K,J)
2370 EE(2)=VOD(K,J+1)
2380 KW=ABM(K,1)
2390 IF(J.EQ.3) KW=-ABM(K,1)
2400 F2=ABS(KW*WE-WR)/(2*PI)
2410 CALL RSPIMP(1,F2,N,0,BS,H,BC,RHO,
& Z1,Z2,Z3,Z4,Z5,Z6,Z7,Z8)
2420 CALL RSPIMP(1,.1,N,0,BS,H,BC,RHO,
& Z3,Z4,Z5,Z6,Z7,Z8,Z9,Z10)
2430 RFACT=RRAT*(Z1/Z3-1.0)+1.0
2440 XFACT=RRAT*(Z2*.1/(Z4*F2)-1.0)+1.0
2450 LR=(XLR*XFACT+XM)/WP
2460 RR=RRO*RFACT
2470 RROT(K,MP)=RR
2480 CALL SETA(KW)
2490 CALL MINF(F2,4,4,0.0001,HM,IER2)
Parte 5
2500 DO 620 I=1,4
2510 SUM=0.0
2520C
2530 DO 630 J2=1,4
2540 SUM=SUM+H(I,J2)*EE(J2)
2550 630 CONTINUE
2560C
2570 SI(I)=SUM
2580 IF(KB.NE.1) GOTO 632
2590 DO 631 J3=1,2
2600 U(K,MP,J3)=B(J3,I)*SI(I)+U(K,MP,J3)
2610 631 CONTINUE
2620 632 CONTINUE
2630 620 CONTINUE
2640C STRÖMMAR I Q&D-PLANET
2650C
2660 DO 700 I=1,4
2670 AI(K,MP,I)=SI(I)
2680 700 CONTINUE
2690C
2700 IF(KB.NE.1) GOTO 702
2710 K1=K3
2720 IF(INYS.EQ.1) K1=1
2730 IF(IE.EQ.1) K1=1
2740 DO 701 K=1,K1
2750 UDA(K)=U(K,1,1)+U(K,2,1)
2760 UDG(K)=U(K,1,2)+U(K,2,2)
2770 UDA(K)=U(K,1,2)-U(K,2,2)
2780 UDG(K)=U(K,2,1)-U(K,1,1)
2790 DELTAU(K,1)=ABM(K,2)-UDA(K)
2800 DELTAU(K,2)=ABM(K,3)-UDG(K)
2810 701 CONTINUE
2820 702 CONTINUE
2830C
2840C
2850C EFFEKTFÖRLUSTER I STATOR OCH ROTOR:
2860 PCU1=0
2870 PCU2=0
2880C
2890 K1=K3
2900 IF(INYS.EQ.1) K1=1
2910 IF(IE.EQ.1) K1=1
2920 DO 710 K=1,K1
2930 APCU1=RS*1.5*(AI(K,1,1)**2+AI(K,1,2)**2)
2940 BPCU1=RS*1.5*(AI(K,2,1)**2+AI(K,2,2)**2)
2950 EFF(K,1)=APCU1+BPCU1
2960 IF(IE.NE.1) GOTO 705
2970 742 CONTINUE
2980 DENOM=(RRO/SM)**2+((XLR+XM)*FM0/FB)**2
2990 RH=RRO/SM*(XM*FM0/FB)**2/DENOM
3000 XH=((RRO/SM)**2*XM*FM0/FB+
& XLR*XM*(XLR+XM)*(FM0/FB)**3)/DENOM
3010 EQ=RES(1,1)*UM1*SQRT((RH**2+XH**2)/((RI+RS+RH)**2
3020 & +(XL*FM0/FB+XLS*FM0/FB+XH)**2))
3030 IF(INYS.EQ.1) GOTO 748
3040 APK1=APK
3050 APK=APK*E1/EQ
3060 IF(ABS((EQ-E1)/E1).GT.0.004) GOTO 103
3070 748 CONTINUE
3080 WRITE(6,713)EQ
3090 713 FORMAT(1X,"EQ=",F13.3)
Parte 6
3100 CPCU2=1.5*RROT(1,1)*(AI(1,1,3)**2+AI(1,1,4)**2)
3110 DPCU2=1.5*RROT(1,2)*(AI(1,2,3)**2+AI(1,2,4)**2)
3120 MOM1=P*(CPCU2+DPCU2)/SM/4/PI/FM0
3130 WRITE(6,712)MOM1
3140 712 FORMAT(1X,"MOMENTET=",F13.3,"
& ÖNSKAS NY ITERATION? 1=JA")
3150 IF(INYS.EQ.1) GOTO 405
3160 READ,INY
3170 IF(INY.NE.1) GOTO 704
3180 GOTO 390
3190 704 IE=2
APK=APK1
3200 GOTO 103
3210 705 CONTINUE
3220 IF(INYS.EQ.1) GOTO 742
3230 INYS=2
3240 BPCU2=1.5*RROT(K,2)*(AI(K,2,3)**2+AI(K,2,4)**2)
3250 APCU2=1.5*RROT(K,1)*(AI(K,1,3)**2+AI(K,1,4)**2)
3260 EFF(K,2)=APCU2+BPCU2
3270C
3280 IT=ABM(K,1)
3290 WRITE(6,720)K,IT,EFF(K,1),EFF(K,2),RROT(K,1),RROT(K,2)
3300 PCU1=PCU1+EFF(K,1)
3310 PCU2=PCU2+EFF(K,2)
3320 710 CONTINUE
3330 AIP1=SQRT(PCU1/(3*RS))
3340 PRINT,"COPY"
READ,STRUNT
3350 WRITE(6,730)PCU1,PCU2,AIP1
3360 720 FORMAT(1X,"K=",I2," F/F0=",I2," PCU1=",F7.1,
3370 & " PCU2=",F7.1," R2+=",E10.3," R2-=",E10.3//)
3380 730 FORMAT(1X,70(1H-),//,T10,"SUMMA PCU1=",E11.4," W",
3390 & /T10,"SUMMA PCU2=",E11.4," W",
3400 & /T10,"I1 =",E11.4," A",/70(1H-))
3410 IF(KB.NE.1) GOTO 737
3420 PRINT,"SPÄNNINGSFALL ÖVER REAKTORN"
3430 PRINT," Q-AXELN"
3440 PRINT," +COS(NWT) +SIN(NWT)"
3450 DO 736 K=1,K1
3460 WRITE(6,734)DELTAU(K,1),DELTAU(K,2)
3470 734 FORMAT(1X,2F12.4)
3480 736 CONTINUE
3490 737 CONTINUE
3500C MOMENTBERÄKNINGAR
3510 AMVM=0
AMOMA=-1E8
AMOMI=1E8
3520 T=1/(FM0*MK)
3530 T1=T/50
3540 TI=0
NTM=0
3550C
3560 735 CONTINUE
3570 IF(TI.GT.T) GOTO 750
3580 IQST=0
IDST=0
IQRT=0
IDRT=0
3590 DO 740 K=1,K1
3600 FI=ABM(K,1)*(WE*TI-PI/6.)
3610C STATORSTRÖM:
3620 IQST=IQST+(AI(K,1,1)+AI(K,2,1))*COS(FI)
3630 & +(AI(K,1,2)-AI(K,2,2))*SIN(FI)
3640 IDST=IDST+(AI(K,1,2)+AI(K,2,2))*COS(FI)
3650 & -(AI(K,1,1)-AI(K,2,1))*SIN(FI)
3660C ROTORSTRÖM:
3670 IQRT=IQRT+(AI(K,1,3)+AI(K,2,3))*COS(FI)
3680 & +(AI(K,1,4)-AI(K,2,4))*SIN(FI)
3690 IDRT=IDRT+(AI(K,1,4)+AI(K,2,4))*COS(FI)
Parte 7
3700 & -(AI(K,1,3)-AI(K,2,3))*SIN(FI)
3710 740 CONTINUE
3720C
3730 MOMT=M*0.75*P*(IQST*IDRT-IDST*IQRT)
3740 AMVM=AMVM+MOMT
3750 IF(MOMT.GT.AMOMA)AMOMA=MOMT
3760 IF(MOMT.LT.AMOMI)AMOMI=MOMT
3770 TI=TI+T1
3780 NTM=NTM+1
3790 GO TO 735
3800 750 CONTINUE
3810 AMVM=AMVM/NTM
3820 AMVAR1=AMOMA-AMVM
3830 AMVAR2=AMOMI-AMVM
3840 WRITE(6,760)T,AMVM,AMVAR1,AMVAR2
3850 760 FORMAT(1X,/70(1H-),/T10,"MOMENTET UNDER",E11.4,
& " SEK. :",
3860 & /T10,"MEDELVÄRDE:",E11.4," NM",
3870 & /T10,"AMPLITUD :",E11.4," NM",
3880 & /T10,"AMPLITUD :",E11.4," NM",/70(1H-))
3890C ÖGONBLICKSVÄRDEN: STRÖM, SPÄNNING OCH MOMENT
3900 805 CONTINUE
3910 PRINT,"ÖNSKAS PLOT ELLER TABELL? 1=PLOT 2=TABELL"
3920 READ,LP
3930 PRINT,"GE TEXT TILL TABELL ELLER PLOT"
3940 READ,TEXT
3950 PRINT,"GE TIDSINTERVALL FÖR PLOT ELLER UTSKRIFT"
3960 PRINT,"T1<T<T2 MILLISEC. ; T1>=0"
3970 READ,T1,T
3980 T1=T1/1000
3990 T=T/1000
4000 PRINT,"GE ANTALET STEG I INTERVALLET"
4010 READ,STEG
4020 TD=(T-T1)/STEG
4030 IF(LP.EQ.2)GOTO 808
4040 PRINT,"GE AMPLITUDER FÖR SKALNING !"
4050 PRINT,"SPÄNNING (V),STATORSTRÖM (A), MOMENT (NM)"
4060 READ,UMAX,AIQSMAX,AMOMAX
4070 CALL PLOTS
4080 CALL ERASE
4090 WRITE(6,940)TEXT
4100 CALL FRAME(0.,0.,16.,14.,2)
4110 DX=(T-T1)/10.
4120 CALL AXIS(4.,1.,"TID (SEKUNDER) ",-15,10.,0.,T1,DX)
4130 DY1=2*UMAX/10.
4140 CALL AXIS(1.,1.,"SPÄNNING (V)",15,10.,90.,
& -UMAX,DY1)
4150 DY2=2*AIQSMAX/10.
4160 CALL AXIS(2.,1.,"STATORSTRÖM (A)",15,10.,90.,
& -AIQSMAX,DY2)
4170 DY3=2*AMOMAX/10.
4180 CALL AXIS(3.,1.,"MOMENT (NM)",15,10.,90.,
& -AMOMAX,DY3)
4190 CALL PLOT(4.,6.,23)
4200 GO TO 810
4210 808 CONTINUE
4220 WRITE(6,930)TEXT
4230 WRITE(6,910)
4240C
4250 810 CONTINUE
4260 IF(TI.GT.T)GO TO 905
4270 IQST=0
IDST=0
IQRT=0
IDRT=0
UDST=0
4280C
4290 DO 900 K=1,K1
Parte 8
4300 FI=ABM(K,1)*(WE*TI-PI/6.)
4310 FI1=ABM(K,1)*WE*TI
4320C STATORSTRÖM:
4330 IQST=IQST+(AI(K,1,1)+AI(K,2,1))*COS(FI)
4340 & +(AI(K,1,2)-AI(K,2,2))*SIN(FI)
4350 IDST=IDST+(AI(K,1,2)+AI(K,2,2))*COS(FI)
4360 & -(AI(K,1,1)-AI(K,2,1))*SIN(FI)
4370C ROTORSTRÖM:
4380 IQRT=IQRT+(AI(K,1,3)+AI(K,2,3))*COS(FI)
4390 & +(AI(K,1,4)-AI(K,2,4))*SIN(FI)
4400 IDRT=IDRT+(AI(K,1,4)+AI(K,2,4))*COS(FI)
4410 & -(AI(K,1,3)-AI(K,2,3))*SIN(FI)
4420 UDST=UDST+ABM(K,4)*COS(FI1)+ABM(K,5)*SIN(FI1)
4430 900 CONTINUE
4440C
4450 UDST=UDST*SQRT(3)
4460 MOMT=M*0.75*P*(IQST*IDRT-IDST*IQRT)
4470C UTSKRIFT I TABELL
4480 IF(LP.EQ.2)GO TO 902
4490 CALL PLOT(TI/DX,UDST/DY1,3)
4500 CALL PLOT(TI/DX,UDST/DY1,2)
4510 CALL PLOT(TI/DX,IDST/DY2,3)
4520 CALL PLOT(TI/DX,IDST/DY2,2)
4530 CALL PLOT(TI/DX,MOMT/DY3,3)
4540 CALL PLOT(TI/DX,MOMT/DY3,2)
4550 GO TO 904
4560 902 F10=WE*TI
4570 WRITE(6,920)TI*1000,F10,MOMT,UDST,IDST,IDRT
4580 904 TI=TI+TD
4590 GO TO 810
4600 905 CONTINUE
4610 IF(LP.EQ.2)GO TO 908
4620 CALL HDCOPY
4630 DO 906 NNM=1,5
4640 906 CALL BELL
4650 READ,STRUNT
4660 CALL PLOT(0.,0.,23)
4670 CALL ERASE
4680 CALL ENDP
4690 908 CONTINUE
4700 WRITE(6,530)
4710 PRINT,"ÖNSKAS NY UTSKRIFT (PLOT) ? 1=JA"
4720 READ,ISVAR
4730 IF(ISVAR.EQ.1)GO TO 805
4740 910 FORMAT(1X,70(1H-),/T9,T15,"W0*T",T25,"M",T35,"U",
4750 & T45,"I1",T55,"I2",//"(MS)",T11,"(RAD)",T25,"(NM)",
4760 & T35,"(V)",T45,"(A)",T55,"(A)",/70(1H-))
4770 920 FORMAT(1X,F8.3,T15,F6.4,T25,F7.2,T35,F7.1,T45,F7.1,
& T55,F7.1)
4780 930 FORMAT(1X,70(1H-),/T10,A30)
4790 940 FORMAT(1X,T20,A30)
4800 1000 CONTINUE
4810 PRINT,"ÖNSKAS NY MASKINBERÄKNING? 1=JA"
4820 READ,MASKIN
4830 IF(MASKIN.EQ.1)GO TO 440
4840 PRINT,"ÖNSKAS NY KÖRNING? 1=JA"
4850 READ,ISLUT
4860 IF(ISLUT.EQ.1)GO TO 1
4870 STOP
END
Parte 9
5650 SUBROUTINE SETA(N)
5660 COMMON/LABEL2/RS,LS,M,LR,RR,WE,WR,A(4,4),RI,LI,B(4,4)
5670 REAL M,LS,LR,LI
5680C
5690 A(1,1)=RS+RI
5700 A(1,2)=N*WE*(LS+LI)
5710 A(1,3)=0.0
5720 A(1,4)=N*WE*M
5730 A(2,1)=-N*WE*(LS+LI)
5740 A(2,2)=RS+RI
5750 A(2,3)=-N*WE*M
5760 A(2,4)=0.0
5770 A(3,1)=0.0
5780 A(3,2)=(N*WE-WR)*M
5790 A(3,3)=RR
5800 A(3,4)=(N*WE-WR)*LR
5810 A(4,1)=-(N*WE-WR)*M
5820 A(4,2)=0.0
5830 A(4,3)=-(N*WE-WR)*LR
5840 A(4,4)=RR
5841 B(1,1)=RS
5842 B(1,2)=N*WE*LS
5843 B(2,1)=-N*WE*LS
5844 B(2,2)=RS
5845 DO 2 J=3,4
5846 DO 2 I=3,4
5847 B(I,J)=A(I,J)
5848 2 CONTINUE
5849 B(1,3)=A(1,3)
5850 B(1,4)=A(1,4)
5851 B(2,3)=A(2,3)
5852 B(2,4)=A(2,4)
5853 B(3,1)=A(3,1)
5854 B(3,2)=A(3,2)
5855 B(4,1)=A(4,1)
5856 B(4,2)=A(4,2)
5857 RETURN
5860 END
Apéndice 4.10 Ejemplo de ejecución
B4.10.1 Datos de entrada e iteraciones iniciales
GE ANTAL ARGUMENT (ALFA) SOM INTE=0
=0
GE ARGUMENTEN I GRADER
=0
ÖNSKAS SÄRSKILDA FREKVENSER? 1=JA
=2
GE HÖGSTA ÖNSKADE FREKVENS F/F0, F0=GRUNDTON
=53
GE PULSKVOT
=.67
GE (ANTALET PULSER PER PERIOD)/6.
=2
GE FASFÖRSKJUTNING I GRADER
=0
GE MINSTA AMPLITUD SOM SKALL ADDERAS
=1E-10
ÖNSKAS KONSTANT FLÖDE? 1=JA
=1
GE ÖNSKAT E-VÄRDE
=170
PULSKVOT= 0.6700
ÖNSKAS NY FOURIER-ANALYS? 1=JA
=2
NYA MASKINKONSTANTER? 1=JA
=1
ÖNSKAS MBK 280 S-6:S MASKINKONSTANTER? 1=JA
=1
ÖNSKAS S-ITERATION? 1=JA
=2
GE FM0, SM, UD/2
=30 .0525 244
SKALL SERIEREAKTOR INGÅ I BERÄKNINGARNA? 1=JA
=1
GE SERIEREAKTORDATA:R,L
=.006 .001
La primera componente fundamental calculada de la tensión del eje q se imprime como
\[u_q(t) = 0.013\cos(\omega t) - 207.098\sin(\omega t) +\cdots\]A continuación, el programa modifica la relación de impulsos:
PULSKVOT= 0.6883
ÖNSKAS NY FOURIER-ANALYS? 1=JA
=2
NYA MASKINKONSTANTER? 1=JA
=2
ÖNSKAS S-ITERATION? 1=JA
=2
GE FM0, SM, UD/2
=30 .0525 244
SKALL SERIEREAKTOR INGÅ I BERÄKNINGARNA? 1=JA
=1
GE SERIEREAKTORDATA:R,L
=.006 .001
La nueva componente fundamental es
\[u_q(t) = 0.014\cos(\omega t) - 212.834\sin(\omega t) +\cdots\]B4.10.2 Resultados después de la iteración de flujo constante
EQ= 170.059
MOMENTET= 703.524 ÖNSKAS NY ITERATION? 1=JA
=2
PULSKVOT= 0.6983
B4.10.3 Resultados del análisis de Fourier
| $f/f_0$ | Amplitud | Fasvinkel |
|---|---|---|
| 1 | 0.87227 | 3.14153 |
| 5 | 0.15005 | 3.14153 |
| 7 | 0.07989 | 3.14153 |
| 11 | 0.23409 | 0 |
| 13 | 0.42800 | 3.14153 |
| 17 | 0.15094 | 3.14153 |
| 19 | 0.13659 | 3.14153 |
| 23 | 0.25953 | 3.14153 |
| 25 | 0.12437 | 0 |
| 29 | 0.01231 | 3.14153 |
| 31 | 0.01661 | 3.14153 |
| 35 | 0.00326 | 0.00002 |
| 37 | 0.05062 | 3.14153 |
| 41 | 0.02451 | 3.14153 |
| 43 | 0.01841 | 3.14153 |
| 47 | 0.04002 | 0.00000 |
| 49 | 0.10166 | 3.14153 |
| 53 | 0.04665 | 3.14153 |
A continuación se utilizan los mismos datos de la máquina y del inductor:
ÖNSKAS NY FOURIER-ANALYS? 1=JA
=2
NYA MASKINKONSTANTER? 1=JA
=2
ÖNSKAS S-ITERATION? 1=JA
=2
GE FM0, SM, UD/2
=30 .0525 244
SKALL SERIEREAKTOR INGÅ I BERÄKNINGARNA? 1=JA
=1
GE SERIEREAKTORDATA:R,L
=.006 .001
B4.10.4 Tensión en el eje q
La salida del programa corresponde a la siguiente serie de Fourier:
\[\begin{aligned} u_q(t) ={}& 0.014\cos(\omega t) -212.834\sin(\omega t) \\ &+0.002\cos(5\omega t) -36.611\sin(5\omega t) \\ &+0.001\cos(7\omega t) -19.492\sin(7\omega t) \\ &+0.000\cos(11\omega t) +57.119\sin(11\omega t) \\ &+0.007\cos(13\omega t) -104.432\sin(13\omega t) \\ &+0.002\cos(17\omega t) -36.828\sin(17\omega t) \\ &+0.002\cos(19\omega t) -33.329\sin(19\omega t) \\ &+0.004\cos(23\omega t) -63.326\sin(23\omega t) \\ &+0.000\cos(25\omega t) +30.346\sin(25\omega t) \\ &+0.000\cos(29\omega t) -3.004\sin(29\omega t) \\ &+0.000\cos(31\omega t) -4.053\sin(31\omega t) \\ &+0.000\cos(35\omega t) +0.726\sin(35\omega t) \\ &+0.001\cos(37\omega t) -12.351\sin(37\omega t) \\ &+0.000\cos(41\omega t) -5.980\sin(41\omega t) \\ &+0.000\cos(43\omega t) -4.491\sin(43\omega t) \\ &+0.000\cos(47\omega t) +9.764\sin(47\omega t) \\ &+0.002\cos(49\omega t) -24.804\sin(49\omega t) \\ &+0.001\cos(53\omega t) -11.432\sin(53\omega t). \end{aligned}\]B4.10.5 Pérdidas en el cobre y resistencias del rotor
| $K$ | $f/f_0$ | $P_{\mathrm{CU1}}$ | $P_{\mathrm{CU2}}$ | $R_2^+$ | $R_2^-$ |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2745.5 | 2320.7 | $0.510\times10^{-1}$ | $0.811\times10^{-1}$ |
| 2 | 5 | 27.5 | 72.8 | $0.114\times10^{0}$ | $0.135\times10^{0}$ |
| 3 | 7 | 4.0 | 10.6 | $0.136\times10^{0}$ | $0.153\times10^{0}$ |
| 4 | 11 | 14.4 | 52.0 | $0.169\times10^{0}$ | $0.183\times10^{0}$ |
| 5 | 13 | 34.4 | 125.1 | $0.184\times10^{0}$ | $0.196\times10^{0}$ |
| 6 | 17 | 2.5 | 11.1 | $0.209\times10^{0}$ | $0.220\times10^{0}$ |
| 7 | 19 | 1.7 | 7.3 | $0.221\times10^{0}$ | $0.232\times10^{0}$ |
| 8 | 23 | 4.1 | 20.7 | $0.243\times10^{0}$ | $0.252\times10^{0}$ |
| 9 | 25 | 0.8 | 4.0 | $0.253\times10^{0}$ | $0.262\times10^{0}$ |
| 10 | 29 | 0.0 | 0.0 | $0.271\times10^{0}$ | $0.280\times10^{0}$ |
| 11 | 31 | 0.0 | 0.1 | $0.280\times10^{0}$ | $0.289\times10^{0}$ |
| 12 | 35 | 0.0 | 0.0 | $0.297\times10^{0}$ | $0.305\times10^{0}$ |
| 13 | 37 | 0.1 | 0.4 | $0.306\times10^{0}$ | $0.313\times10^{0}$ |
| 14 | 41 | 0.0 | 0.1 | $0.321\times10^{0}$ | $0.329\times10^{0}$ |
| 15 | 43 | 0.0 | 0.0 | $0.329\times10^{0}$ | $0.336\times10^{0}$ |
| 16 | 47 | 0.0 | 0.2 | $0.343\times10^{0}$ | $0.350\times10^{0}$ |
| 17 | 49 | 0.1 | 1.0 | $0.351\times10^{0}$ | $0.357\times10^{0}$ |
| 18 | 53 | 0.0 | 0.2 | $0.364\times10^{0}$ | $0.371\times10^{0}$ |
El resumen de la salida del programa es:
\[\sum P_{\mathrm{CU1}} = 0.2835\times10^4\ \mathrm{W},\] \[\sum P_{\mathrm{CU2}} = 0.2626\times10^4\ \mathrm{W},\]y
\[I_1 = 0.1403\times10^3\ \mathrm{A}.\]B4.10.6 Caída de tensión en el inductor
Para el eje q, los coeficientes de coseno y seno se imprimen de la siguiente manera:
| Harmonisk term | $\cos(n\omega t)$ | $\sin(n\omega t)$ |
|---|---|---|
| 1 | -27.1578 | -24.8731 |
| 5 | 1.4653 | -18.3514 |
| 7 | -0.7123 | -9.7876 |
| 11 | -1.4651 | 29.2392 |
| 13 | -2.5807 | -53.4793 |
| 17 | 0.7417 | -19.0144 |
| 19 | -0.6551 | -17.2107 |
| 23 | 1.0782 | -32.9578 |
| 25 | 0.5085 | 15.7472 |
| 29 | 0.0450 | -1.5637 |
| 31 | -0.0598 | -2.1099 |
| 35 | -0.0107 | 0.4157 |
| 37 | -0.1648 | -6.4462 |
| 41 | 0.0742 | -3.1267 |
| 43 | -0.0550 | -2.3483 |
| 47 | -0.1121 | 5.1130 |
| 49 | -0.2825 | -12.9992 |
| 53 | 0.1234 | -5.9942 |
B4.10.7 Par
MOMENTET UNDER 0.1667E-01 SEK. :
MEDELVÄRDE: 0.7034E 03 NM
AMPLITUD : 0.1465E 03 NM
AMPLITUD : -0.1188E 03 NM
Esto corresponde a un par medio de aproximadamente $703.4\ \mathrm{Nm}$, con desviaciones por encima y por debajo de la media de aproximadamente $146.5\ \mathrm{Nm}$ y $-118.8\ \mathrm{Nm}$, respectivamente.
B4.10.8 Tabla de par, tensión y corriente
ÖNSKAS PLOT ELLER TABELL? 1=PLOT 2=TABELL
=2
GE TEXT TILL TABELL ELLER PLOT
=
GE TIDSINTERVALL FÖR PLOT ELLER UTSKRIFT
T1<T<T2 MILLISEC. ; T1>=0
=0 17
GE ANTALET STEG I INTERVALLET
=6
| $t$ (ms) | $\omega_0 t$ (rad) | $M$ (Nm) | $U$ (V) | $I_1$ (A) | $I_2$ (A) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0.000 | 0.0000 | 741.03 | -512.6 | -41.9 | 92.2 |
| 2.833 | 0.5341 | 761.89 | -533.3 | -160.1 | 176.1 |
| 5.667 | 1.0681 | 726.10 | -84.8 | -208.3 | 185.2 |
| 8.500 | 1.6022 | 807.88 | 0.4 | -204.5 | 149.4 |
| 11.333 | 2.1363 | 709.90 | 499.2 | -157.2 | 64.5 |
| 14.167 | 2.6704 | 836.44 | 435.1 | -19.2 | -49.5 |
| 17.000 | 3.2044 | 694.67 | 459.9 | 50.8 | -97.8 |
ÖNSKAS NY UTSKRIFT (PLOT)? 1=JA
=2
ÖNSKAS NY MASKINBERÄKNING? 1=JA
=2
ÖNSKAS NY KÖRNING? 1=JA
=2
Apéndice 5. Cálculo del tamaño del inductor
Nota: en ocasiones se utilizan unidades cgs en lugar de unidades SI, como suele ser convencional en física electromagnética.
B5.1 Generalidades
Para estudiar con mayor detalle las dimensiones físicas de un inductor, se han calculado el peso y el volumen de un inductor refrigerado por aire para distintos valores de inductancia.
Un inductor trifásico tiene la siguiente forma:
Los entrehierros se dividen en varios entrehierros parciales para limitar el flujo de dispersión.
B5.2 Procedimiento de cálculo
La tensión inducida en el devanado es
\[e=\frac{d\Psi}{dt} \quad\Longrightarrow\quad \bar E=j\omega\Psi, \qquad E=\omega\Psi.\]Además,
\[\Psi=N\Phi=NB A_{\mathrm{fe}},\]y, por tanto,
\[E=2\pi B A_{\mathrm{fe}}Nf.\]Con $\hat B$ expresado en gauss y $A_{\mathrm{fe}}$ en $\mathrm{cm}^2$, se obtiene
\[E = \sqrt{2}\,\pi\,10^{-8} \hat B A_{\mathrm{fe}}Nf \qquad (\mathrm{cgs}).\]Además,
\[\oint H\,ds=NI,\]que, para el trayecto en el hierro y el entrehierro, se escribe
\[H_{\Delta}\Delta+H_j\ell=NI.\]Con
\[H_{\Delta}=\frac{B}{\mu_0}, \qquad H_j=\frac{B}{\mu\mu_0},\]se obtiene
\[\frac{B}{\mu_0}\Delta + \frac{B}{\mu\mu_0}\ell = NI.\]Se supone que domina la reluctancia del entrehierro, de modo que
\[I=\frac{1}{\mu_0}\frac{B\Delta}{N}.\]Para el valor eficaz de la corriente y el valor de cresta $\hat B$, esto se convierte en
\[I = \frac{1}{\mu_0} \frac{\hat B\Delta}{N\sqrt{2}} 10^{-6} \qquad (\mathrm{cgs}),\]y, por tanto,
\[\Delta = \frac{\mu_0\sqrt{2}\,10^6IN}{\hat B} = \frac{0.4\pi\sqrt{2}\,IN}{\hat B} \qquad (\mathrm{cgs}).\]La reactancia es
\[X = \frac{E}{I} = \frac{\sqrt{2}\,\pi\,10^{-8}\hat B f}{I} \,N A_{\mathrm{fe}} \qquad (\mathrm{cgs}).\]Si el inductor se diseña para la máquina MBK 280 S-6, se requiere lo siguiente:
\[I=160\ \mathrm{A}.\]La sustitución de este valor junto con los valores máximos de densidad de corriente y densidad de flujo da
\[\hat B=12\,000\ \mathrm{gauss}, \qquad S_{\max}=1.9\ \mathrm{A/mm^2}.\]Por tanto,
\[X = 1.66\cdot10^{-4} N A_{\mathrm{fe}} \qquad (\mathrm{cgs}),\]y
\[\Delta = 2.37\cdot10^{-2}N.\]Aquí $X$ se expresa en ohmios y $\Delta$ en cm cuando $A_{\mathrm{fe}}$ se expresa en $\mathrm{cm}^2$.
B5.3 Pesos del cobre
Con la densidad de corriente
\[S=1.9\ \mathrm{A/mm^2}\]el área de cobre requerida es
\[A_{\mathrm{cu}} = \frac{160}{1.9} \approx 84\ \mathrm{mm^2} = 6\cdot14\ \mathrm{mm^2}.\]Por tanto, se supone que el conductor tiene las dimensiones
\[b=6\ \mathrm{mm}, \qquad h=14\ \mathrm{mm},\]y se toma como densidad del cobre
\[\rho_{\mathrm{cu}}=7900\ \mathrm{kg/m^3}.\]El peso del cobre para las tres fases es
\[m_{\mathrm{cu}} = 3N A_{\mathrm{cu}}\ell\rho_{\mathrm{cu}},\]donde la longitud del devanado por espira se aproxima como
\[\ell = 4\left(\sqrt{A_{\mathrm{fe}}}+0.3a\right).\]La sustitución da
\[\begin{aligned} m_{\mathrm{cu}} &= 3A_{\mathrm{cu}}\rho_{\mathrm{cu}} \,4\left(\sqrt{A_{\mathrm{fe}}}+0.3a\right)N \\ &= 0.0796 \left(\sqrt{A_{\mathrm{fe}}}+0.3a\right)N, \end{aligned}\]donde $A_{\mathrm{fe}}$ se expresa en $\mathrm{cm}^2$ y la masa en kg.
B5.4 Pesos del hierro
Columnas
El peso del hierro de las tres columnas se escribe
\[m_{\mathrm{feb}} = 3A_{\mathrm{fe}}H\rho_{\mathrm{fe}},\]donde
\[H=\frac{Nh}{a}+0.04.\]Con $\rho = 2.2 \cdot 10^{-8}\ \Omega\mathrm{m}$ y $h=14\ \mathrm{mm}$ se obtiene
\[\begin{aligned} m_{\mathrm{feb}} &= 3\rho_{\mathrm{fe}} \left(\frac{Nh}{a}+0.04\right) A_{\mathrm{fe}} \\ &= 3\cdot7900\cdot10^{-6} \left(\frac{Nh}{a}+4\right) A_{\mathrm{fe}} \\ &= 0.0237 \left(1.4\frac{N}{a}+4\right) A_{\mathrm{fe}}. \end{aligned}\]Aquí $A_{\mathrm{fe}}$ se expresa en $\mathrm{cm}^2$ y la masa en kg.
Yugos
El peso del hierro de los dos yugos se escribe
\[m_{\mathrm{feo}} = 2A_{\mathrm{fe}}B\rho_{\mathrm{fe}},\]donde la anchura del núcleo se aproxima como
\[B = 3\sqrt{A_{\mathrm{fe}}} + 4\cdot1.2\,a b + 2\cdot0.03.\]Esto da
\[\begin{aligned} m_{\mathrm{feo}} &= 2\rho_{\mathrm{fe}} \left( 3\sqrt{A_{\mathrm{fe}}} + 4.8ab + 0.06 \right) A_{\mathrm{fe}} \\ &= 2\cdot7900\cdot10^{-6} \left( 3\sqrt{A_{\mathrm{fe}}} + 2.88a + 6 \right) A_{\mathrm{fe}} \\ &= 0.0158 \left( 3\sqrt{A_{\mathrm{fe}}} + 2.88a + 6 \right) A_{\mathrm{fe}}. \end{aligned}\]También aquí, $A_{\mathrm{fe}}$ se expresa en $\mathrm{cm}^2$ y la masa en kg.
5.5 Resumen
Las expresiones utilizadas pueden resumirse como
\[X = \frac{\sqrt{2}\,\pi\,10^{-8}\hat B f}{I} \,N A_{\mathrm{fe}} = 1.66\cdot10^{-4} N A_{\mathrm{fe}} \quad [\Omega],\] \[\Delta = \frac{\mu_0\sqrt{2}\,10^6 I}{\hat B}N = 2.37\cdot10^{-2}N \quad [\mathrm{cm}],\] \[m_{\mathrm{cu}} = 0.0897 \left( \sqrt{A_{\mathrm{fe}}}+0.3a \right)N,\] \[m_{\mathrm{feb}} = 0.0237 \left( 1.4\frac{N}{a}+4 \right) A_{\mathrm{fe}},\]y
\[m_{\mathrm{feo}} = 0.0158 \left( 3\sqrt{A_{\mathrm{fe}}}+2.88a+6 \right) A_{\mathrm{fe}}.\]Si se realizan cálculos para tres inductores diferentes —0.5, 1.0 y 2.0 mH—, se obtienen los tres diagramas de las Figuras 1–3. En ellos, el peso del inductor se calculó utilizando como variables libres el área de las columnas y el número de capas del devanado.
Apéndice 6. Datos tipo
B6.1 Inversor
La tensión del enlace de CC es
\[U_d = 488\ \mathrm{V}.\]| Modo de funcionamiento | Intervalo de frecuencia fundamental | $p$ | $m$ | $J’$ | $\alpha$ |
|---|---|---|---|---|---|
| A | 0.00–4.51 | 17 | 0 | 3 | 8.7, 24.4, 28.8 |
| B | 3.93–5.89 | 13 | 0 | 2 | 16.2, 22.1 |
| C | 5.47–10.95 | 7 | 0 | 1 | 12 |
| D | 9.60–12.77 | 6 | 0 | 1 | 12 |
| E | 11.52–15.32 | 5 | 0 | 1 | 12 |
| F | 14.02–17.88 | 5 | 0 | ||
| G | 17.53–22.35 | 4 | 0 | ||
| H | 21.28–25.92 | 3 | 0 | ||
| I | 25.54–41.44 | 2 | 0 | ||
| K | 39.06–50.00 | 1 | 0 | ||
| L | 50.00– | — | 0 |
B6.2 Motor
El motor es un MBK 280 S-6 con refrigeración forzada.
Datos eléctricos
| Magnitud | Valor |
|---|---|
| Tensión nominal, $U_n$ | $380\ \mathrm{V}$ |
| Corriente nominal, $I_n$ | $150\ \mathrm{A}$ |
| Par nominal, $M_n$ | $740\ \mathrm{Nm}$ |
| Velocidad nominal, $n_n$ | $970\ \mathrm{rpm}$ |
| Potencia nominal de salida, $P_{2n}$ | $75\ \mathrm{kW}$ |
| Resistencia del estator | $0.062\ \Omega/\text{fase}$ |
| Reactancia del estator | $0.379\ \Omega/\text{fase}$ |
| Reactancia magnetizante | $13.89\ \Omega/\text{fase}$ |
| Reactancia del rotor | $0.539\ \Omega/\text{fase}$ |
| Resistencia del rotor | $0.058\ \Omega/\text{fase}$ |
Datos mecánicos
Estator:
| Magnitud | Valor |
|---|---|
| Diámetro del estator | 450 mm |
| Diámetro del entrehierro | 335 mm |
| Longitud del paquete de chapas | $205\ \mathrm{mm}$ |
| Altura del diente | $43.5\ \mathrm{mm}$ |
| Anchura de la ranura | $10.1\ \mathrm{mm}$ |
| Anchura del diente | 8.2 mm |
| Peso del devanado | 47.2 kg |
| Número de ranuras | 54 |
Rotor:
| Magnitud | Valor |
|---|---|
| Altura del diente | $29.5\ \mathrm{mm}$ |
| Anchura de la ranura | $4.25\ \mathrm{mm}$ |
| Anchura del diente | 11.6 mm |
| Peso del devanado | 29.4 kg |
| Número de ranuras | 66 |
El peso total del motor es
\[m_{\mathrm{tot}} = 480\ \mathrm{kg}.\]B6.3 Datos de la ranura
Las anotaciones manuscritas de la figura indican:
SPTR: tipo de ranura según el programaRESIST$\rho_2$: resistividad del conductor- $R_{\mathrm{rat}}$: relación entre el diámetro medio de la ranura y el diámetro medio del rotor
| Parámetro | Valor |
|---|---|
SPTR |
2 |
| $b_{s21}$ | $3.95\ \mathrm{mm}$ |
| $b_{s22}$ | $3.95\ \mathrm{mm}$ |
| $h_{s2}$ | $29.2\ \mathrm{mm}$ |
| $b_{sy2}$ | $2.0\ \mathrm{mm}$ |
| $h_{sy2}$ | $1.0\ \mathrm{mm}$ |
| $b_{cr1}$ | $3.75\ \mathrm{mm}$ |
| $h_{cr}$ | $28\ \mathrm{mm}$ |
| $\rho_2$ | $0.0425\ \Omega/\mathrm{m}$ |
| $R_{\mathrm{rat}}$ | $0.65$ |
Apéndice 7. Lista de variables
| Símbolo | Significado |
|---|---|
| $a$ | número de fases |
| $B$ | densidad de flujo |
| $B_{\max}$ | densidad de flujo máxima |
| $d$ | profundidad de penetración |
| $E$ | tensión de flujo |
| $e$ | valor instantáneo de la tensión de flujo |
| $f$ | frecuencia |
| $I_1$ | corriente del estator |
| $I_2$ | corriente del rotor |
| $I_{11}$ | componente fundamental de la corriente del estator |
| $I_{1ö}$ | corriente armónica del estator |
| $I_{2ö}$ | corriente armónica del rotor |
| $k_h$ | factor de proporcionalidad |
| $k_v$ | factor de proporcionalidad |
| $L$ | inductancia del inductor |
| $L_1$ | inductancia del estator |
| $L_2$ | inductancia del rotor |
| $L_m$ | inductancia magnetizante |
| $M$ | par |
| $m$ | relación de impulsos |
| $M_n$ | par nominal |
| $M_p$ | par pulsante |
| $M(\theta)$ | señal de modulación |
| $M_i$ | coeficiente de Fourier de $M(\theta)$ |
| $N$ | número de pulsos de modulación |
| $N_1$ | espiras del devanado primario |
| $N_2$ | espiras del devanado secundario |
| $P_{cu}$ | pérdidas en el cobre |
| $P_{cuö}$ | pérdidas armónicas en el cobre |
| $P_{fe}$ | pérdidas en el hierro |
| $P_{feö}$ | pérdidas armónicas en el hierro |
| $P_h$ | pérdidas por histéresis |
| $P_v$ | pérdidas por corrientes parásitas |
| $R$ | resistencia del inductor |
| $R_1$ | resistencia del estator |
| $R_2$ | resistencia del rotor |
| $R(\varphi)$ | señal de referencia |
| $R_n$ | coeficiente de Fourier de $R(\varphi)$ |
| $s$ | deslizamiento |
| $U$ | tensión en los bornes del motor |
| $U_1$ | componente fundamental de $U$ |
| $U_ö$ | armónicos de $U$ |
| $V$ | tensión en los bornes del inversor |
| $V_1$ | componente fundamental de $V$ |
| $V_{ö}$ | armónicos de $V$ |
| $Z_2$ | $jX_m \parallel \left(\dfrac{R_2}{s}+jX_2\right)$ |
| $\alpha_i$ | ángulos de las muescas |
| $\beta$ | ángulo entre el eje q y el eje r del rotor |
| $\gamma$ | $U$, $I$ o $\Psi$ |
| $\theta$ | ángulo entre el eje q y el eje r del estator |
| $\theta_0$ | desplazamiento de fase |
| $\theta_r$ | $\theta-\beta$ |
| $\lambda$ | constante exponencial de las pérdidas por histéresis |
| $\xi$ | reducción de la capacidad nominal |
| $\sigma$ | conductividad |
| $\Phi$ | flujo |
| $\varphi$ | ángulo, $\varphi=\omega t$ |
| $\Psi$ | flujo concatenado |
| $\omega$ | velocidad angular síncrona |
| $\omega_e$ | velocidad angular eléctrica |
| $\omega_r$ | velocidad angular del rotor |